Câu hỏi:
20/06/2024 61Cho khối tứ diện \[ABCD\] có cạnh \[AC,\,\,BD\] thỏa mãn \(A{C^2} + B{D^2} = 16\) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện \[ABCD\] đạt giá trị lớn nhất bằng
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 5) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,AC.\)
Giả sử \(AC = a,\,\,BD = b,\) theo giả thiết:
\({a^2} + {b^2} = 16\,\,(a,\,\,b > 0).\)
Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADC\] có:
\[AC\] chung; \[AB\; = \;AD\] (gt); \[BC\; = \;CD\] (gt)
Do đó \[\Delta ABC = \Delta ADC\] (c.c.c)
Suy ra \[BF = DF\] (hai trung tuyến tương ứng)Do đó \[\Delta BDF\] cân tại \[F\] \[ \Rightarrow EF \bot BD\] (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có \(BF = \sqrt {A{B^2} - A{F^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {36 - \frac{{{a^2}}}{4}} \);
\(EF = \sqrt {B{F^2} - B{E^2}} = \sqrt {36 - \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{b^2}}}{4}} = \sqrt {36 - \frac{{16}}{4}} = \sqrt {32} \).
\[ \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {32} \cdot b = 2\sqrt 2 b\].
Do \(AC \bot BF,\,\,AC \bot DF\) nên \(AC \bot \left( {BDF} \right).\)
Ta có \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}} = \frac{1}{3} \cdot AF \cdot {S_{BDF}} + \frac{1}{3} \cdot CF \cdot {S_{BDF}}\)
\( = \frac{1}{3} \cdot {S_{BDF}} \cdot \left( {AF + CF} \right) = \frac{1}{3} \cdot {S_{BDF}} \cdot AC = \frac{1}{3} \cdot a \cdot 2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \[{\rm{ab}} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\]\( \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \cdot 8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}.\)
Vậy \({V_{m{\rm{ax}}}} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\{a^2} + {b^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 \)
Đẳng thức xảy \({\rm{ra}} \Leftrightarrow A{C^2} = 16 - A{C^2} \Leftrightarrow AC = 2\sqrt 2 .\) Chọn B.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận?
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận?
Xem đáp án »
20/06/2024
9,717
Câu 2:
Ông Bình dự định sử dụng hết \(5,5\;{{\rm{m}}^2}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Xem đáp án »
20/06/2024
2,691
Câu 3:
Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài 5cm khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức \(y = 3 - \frac{2}{5}x\,\,({\rm{cm}})\), với \(x\,\,({\rm{cm}})\) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Thể tích (theo đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3})\) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) bằng
Xem đáp án »
11/07/2024
2,192
Câu 4:
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Truyền kì là một thể văn xuôi tự sự thời trung đại phản ánh hiện thực qua những yếu tố kì lạ, hoang đường. Trong truyện truyền kì, thế giới con người và thế giới cōi âm với những thánh thần, ma quỷ có sự tương giao. Đó chính là yếu tố tạo nên sự hấp dẫn đặc biệt của thể loại.
Phương thức biểu đạt chính của đoạn trích là gì?
Xem đáp án »
25/06/2024
2,172
Câu 5:
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Bác đã đi rồi sao, Bác ơi!
Mùa thu đang đẹp, nắng xanh trời
Miền Nam đang thắng, mơ ngày hội
Rước Bác vào thăm, thấy Bác cười!
(Trích Bác ơi – Tố Hữu)
Câu thơ “Bác đã đi rồi sao, Bác ơi!” trong đoạn trích trên sử dụng thủ pháp nghệ thuật gì?
Đọc đoạn trích sau đây và trả lời câu hỏi:
Bác đã đi rồi sao, Bác ơi!
Mùa thu đang đẹp, nắng xanh trời
Miền Nam đang thắng, mơ ngày hội
Rước Bác vào thăm, thấy Bác cười!
(Trích Bác ơi – Tố Hữu)
Xem đáp án »
25/06/2024
1,948
Câu 6:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\) để hàm số đã cho có điểm cực tiểu là \(x = 4?\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\) để hàm số đã cho có điểm cực tiểu là \(x = 4?\)
Xem đáp án »
11/07/2024
1,115
về câu hỏi!