Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh bằng \[a.\] Gọi \(I\) là trung điểm của \[AB,\] hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\) \(H\) là trung điểm của \[CI,\] góc giữa \[SA\] và mặt đáy bằng \(45^\circ \) (hình vẽ bên). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \[SBC.\] Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[CG\] bằng
A. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\)
B. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{8}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt hệ trục toạ độ \[Oxyz\] sao cho \(I\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,A\left( {\frac{a}{2}\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - \frac{a}{2}\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,\) \(C\left( {0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,0} \right).\)
Ta có: \(CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},\,\,AH = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}\).
Vì \(H\) là trung điểm CI suy ra \(H\left( {0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\,0} \right).\)
Ta có \(\left( {SA,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,\,\,AH} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)\( \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow S\left( {0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\,\frac{{a\sqrt 7 }}{4}} \right).\)
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 7 }}{4}} \right),\,\,\overrightarrow {CG} = \left( { - \frac{a}{6}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 7 }}{{12}}} \right),\,\,\overrightarrow {CA} = \left( {\frac{a}{2}\,;\,\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,0} \right)\);
\[\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right] = \left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{{12}}\,;\,\,0\,;\,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{{12}}} \right) \Rightarrow \left| {\,\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right]\,} \right| = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\].
Khoảng cách giữa \[SA\] và \(CG\) nên \(\frac{{\left| {\,\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {CA} \,} \right|}}{{\left| {\,\left[ {\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {CG} } \right]\,} \right|}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{8}.\) Chọn B.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét trên một thiết diện parabol có chiều cao là \(h\) và độ dài đáy là \[2h\] và chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.
Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(\left( P \right):y = a{x^2} + h\,\,(a < 0)\)
Có \[B\left( {h\,;\,\,0} \right) \in (P) \Leftrightarrow 0 = a{h^2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\] (do \(h > 0)\)Diện tích \(S\) của thiết diện là: \(S = \int\limits_{ - h}^h {\left( { - \frac{1}{h}{x^2} + h} \right)} \,dx = \frac{{4{h^2}}}{3},\,\,h = 3 - \frac{2}{5}x\)\( \Rightarrow S\left( x \right) = \frac{4}{3}{\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}.\)
Suy ra thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:
\(V = \int\limits_0^5 {S\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^5 {\frac{4}{3}} {\left( {3 - \frac{2}{5}x} \right)^2}dx \approx 28,888\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)\( \Rightarrow V \approx 29\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)
Câu 2
Lời giải
Gọi chiều rộng của mặt đáy của bể cá là \(a\,\,(m),\,\,a > 0.\)
\( \Rightarrow \) chiều dài của mặt đáy bể cá là \(2a\,\,(\;{\rm{m}}).\)
Gọi chiều cao bể cá là \(h\,\,(m).\)
Diện tích xung quanh của bể cá là \[{S_{xq}} = 2h\left( {a + 2a} \right) = 6ah\,\,\left( {{m^2}} \right).\]
Diện tích đáy của bể cá là \({S_d} = 2{a^2}\,\,\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Ông Bình sử dụng hết \(5,5\;\,{{\rm{m}}^2}\) kính để làm một bể cá không nắp nên ta có
\(6ah + 2{a^2} = 5,5 \Rightarrow h = \frac{{5,5 - 2{a^2}}}{{6a}}\,\,(m).\)
Dung tích bể cá là \(V = a \cdot 2a \cdot \frac{{5,5 - 2{a^2}}}{{6a}} = \frac{{\left( {5,5 - 2{a^2}} \right)a}}{3}\,\,\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right).\)
Xét hàm số \[f\left( a \right) = \left( {5,5 - 2{a^2}} \right)a = 5,5a - 2{a^3}.\]
Có \[f'\left( a \right) = 5,5 - 6{a^2}\,;\,\,f' = 0 \Leftrightarrow 5,5 - 6{a^2} = 0 \Rightarrow a = \frac{{\sqrt {33} }}{6}.\]
Ta có bảng biến thiên
Vậy \(maxV = \frac{1}{3}f(a) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{11\sqrt {33} }}{{18}} \approx 1,17\,\;\left( {{{\rm{m}}^3}} \right).\) Chọn B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập