Cho số phức \(z\) có môđun bằng \(2\sqrt 2 .\) Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức \(w = \left( {1 - i} \right)\left( {z + 1} \right) - i\) là đường tròn có tâm \(I\left( {a\,;\,\,b} \right)\), bán kính R. Tổng \(a + b + R\) bằng

• Cách 1: Đặt \(w = a + bi\) với điều kiện \(a,\,\,b \in \mathbb{R}.\)

Ta có \(w = \left( {1 - i} \right)\left( {z + 1} \right) - i \Leftrightarrow a + bi = \left( {1 - i} \right)\left( {z + 1} \right) - i\)\( \Leftrightarrow a + \left( {b + 1} \right)i = \left( {1 - i} \right)z + 1 - i\)

\( \Leftrightarrow z = \frac{{a - 1 + \left( {b + 2} \right)i}}{{1 - i}} = \frac{{\left[ {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right]\left( {1 + i} \right)}}{2}\)\( \Leftrightarrow z = \frac{{a - b - 3 + \left( {a + b + 1} \right)i}}{2}.\)

Vì \(\left| z \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{{{\left( {a - b - 3} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {a + b + 1} \right)}^2}}}{4}}  = 2\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b - 3} \right)^2} + {\left( {a + b + 1} \right)^2} = 32\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2a + 4b - 11 = 0\).

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn tâm \(I(1; - 2)\), bán kính \(R = 4.\)

Từ đó suy ra \(a = 1\,,\,\,b =  - 2\,,\,\,R = 4 \Rightarrow a + b + R = 1 + \left( { - 2} \right) + 4 = 3.\)

• Cách 2: Đặt \(w = x + yi\), với \(x,\,\,y \in \mathbb{R}.\)

Ta có \(w = \left( {1 - i} \right)\left( {z + 1} \right) - i \Leftrightarrow w + i = \left( {1 - i} \right)\left( {z + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow w + i = \left( {1 - i} \right)z + 1 - i\)\( \Leftrightarrow w - 1 + 2i = \left( {1 - i} \right)z.\)

Lấy môđun hai vế ta được \[\left| {w - 1 + 2i} \right| = \left| {\left( {1 - i} \right)z} \right|\]

\( \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 + 2i} \right| = \left| {1 - i} \right|\left| z \right|\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}  = 4 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 16.\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn tâm \(I\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\), bán kính \(R = 4.\)

Từ đó suy ra \(a = 1\,,\,\,b =  - 2\,,\,\,R = 4 \Rightarrow a + b + R = 1 + \left( { - 2} \right) + 4 = 3.\)

Đáp án: 3.