Trong không gian \[Oxyz,\] cho mă̆t cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y + 2z + 11 = 0.\) Lấy điểm \(M\) tùy ý trên \((\alpha ).\) Từ \(M\) kẻ các tiếp tuyến \[MA,\,\,MB,\,\,MC\] đến mặt cầu \(\left( S \right)\), với \[A,\,\,B,\,\,C\] là các tiếp điểm đôi một phân biệt. Khi \(M\) thay đổi thì mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) luôn đi qua điểm cố định \(E\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right).\) Tổng \(a + b + c\) bằng

. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,1} \right),\,\,R = \sqrt {12} .\)

Gọi tiếp điểm \(A\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right).\)

\[{\rm{Ta c\'o  }}a - 2b + 2c + 11 = 0{\rm{ v\`a  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A \in \left( S \right)}\\{M{A^2} = M{I^2} - I{A^2} = M{I^2} - {R^2} = M{I^2} - 12}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2} = 12 & (1)}\\{{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2} = {{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2} - 12}\end{array}} \right.\]

Lấy \((1) - (2)\) suy ra \(\left( {2a - 2} \right)x + \left( {2b - 2} \right)y + \left( {2c - 2} \right)z + 3 = 2a + 2b + 2c + 21\) là mặt phẳng chứa các tiếp điểm nên \(a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 1} \right) - x - y - z - 9 = 0\).

Qua điểm cố định \(E\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right)\) khi \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2} = \frac{{ - x - y - z - 9}}{{11}} \Leftrightarrow x = 0\,;\,\,y = 3\,;\,\,z =  - 1.\)

Do đó \(E\left( {0\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right) \Rightarrow a + b + c = 2.\) Đáp án: 2.