Cho mặt phẳng \((\alpha ):x + y - 3z - 5 = 0\) và hai điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,2} \right),\,\,B\left( { - 5\,;\, - 1\,;\,0} \right).\] Biết \(M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) sao cho \(MA + MB\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức \(T = a + 2b + 3c\) bằng bao nhiêu?

Ta có \(\left( {{x_A} + {y_A} - 3{z_A} - 5} \right)\left( {{x_B} + {y_B} - 3{z_B} - 5} \right)\)\[ = \left( {1 - 1 - 3 \cdot 2 - 5} \right)\left( { - 5 - 1 - 3 \cdot 0 - 5} \right) > 0\] nên hai điểm \(A\) và \(B\) cùng nằm về một phía của mặt phẳng \((\alpha ).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \((\alpha ).\)

Phương trình đường thẳng \(AH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + t.}\\{z = 2 - 3t}\end{array}} \right.\)

Do đó toạ độ điểm \(H\) nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + t}\\{z = 2 - 3t}\\{x + y - 3z - 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{x = 2}\\{y = 0}\\{z =  - 1}\end{array}} \right.} \right..\)

Do đó \[H\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right).\]

Gọi \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \((\alpha )\), suy ra \(A'\left( {3\,;\,\,1\,;\,\, - 4} \right).\)

Ta có \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\) nên \(MA + MB\) nhỏ nhất khi \(M = A'B \cap (\alpha ).\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 4t}\\{y = 1 - t}\\{z =  - 4 + 3t}\end{array}} \right..\)

Do đó toạ độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 4t}\\{y = 1 - t}\\{z =  - 4 + 3t}\\{x + y - 3z - 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{12}}{{11}}}\\{x =  - \frac{{15}}{{11}}}\\{y =  - \frac{1}{{11}}}\\{z =  - \frac{{20}}{{11}}}\end{array}} \right.} \right..\)

Do đó \(M\left( { - \frac{{15}}{{11}}; - \frac{1}{{11}}; - \frac{{20}}{{11}}} \right) \Rightarrow T = a + 2b + 3c =  - 7.\) Đáp án: −7.