Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}.\) Hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( {2x + 3} \right) + 2\) có đồ thị là một parabol với tọa độ đỉnh \(I\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\,2} \right).\) Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( {2x + 3} \right) + 2\) có đồ thị là một parabol nên có phương trình dạng: \((P):y = g\left( x \right) = {\rm{a}}{x^2} + bx + c\).

• Vì \((P)\) có đỉnh \(I\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - b}}{{2a}} = 2}\\{g(2) =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - b = 4a}\\{4a + 2b + c =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + b = 0}\\{4a + 2b + c =  - 1}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

• Vì \((P)\) đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\,2} \right)\) nên \(g(1) = 2 \Leftrightarrow a + b + c = 2.\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + b = 0}\\{4a + 2b + c =  - 1}\\{a + b + c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b =  - 12}\\{c = 11}\end{array}} \right.} \right.\) nên \(g(x) = 3{x^2} - 12x + 11.\)

Ta có \(f'\left( {2x + 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x + 3} \right) + 2 \le 2 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3.\)

Đặt \(t = 2x + 3 \Leftrightarrow x = \frac{{t - 3}}{2}\) khi đó \(f'\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le \frac{{t - 3}}{2} \le 3 \Leftrightarrow 5 \le t \le 9.\)

Vậy \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \[\left( {5\,;\,\,9} \right).\] Chọn A.