Xét các số phức \[z,\,\,w\] thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|\) và \(\left| {w - 4i} \right| = 1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - w} \right|\) bằng

Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right);\,w = a + bi\,\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|}\\{|\left| {w - 4i} \right| = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} = {x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}\\{{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2} = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x}\\{{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right..\)

Khi đó ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) trên \[Oxy\] là đường thẳng \(\Delta :y = x.\)

Tập hợp hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) trên \[Oxy\] là đường tròn \((C)\) tâm \(I\left( {0\,;\,\,4} \right),\,\,R = 1.\)

Gọi các điểm \(A\left( z \right)\,,\,\,B\left( w \right).\) Khi đó \(A \in \Delta \,,\,\,B \in (C)\) và \(\left| {z - w} \right| = AB.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(\Delta .\)

Ta có \(IH = d\left( {I\,;\,\,\Delta } \right) = 2\sqrt 2  > R = 1\) nên \(\Delta \) và \((C)\) không giao nhau.

Suy ra \(\left| {z - w} \right| = AB \ge IA - IB \ge IH - IB = d\left( {I\,,\,\,\Delta } \right) - R = 2\sqrt 2  - 1.\)

Đẳng thức xảy ra khi \[I,\,\,A,\,\,B\] thẳng hàng và \(A \equiv H.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - w} \right|\) bằng \(2\sqrt 2  - 1.\) Chọn D.