Tìm  để đồ thị \((C)\) của \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) và đường thẳng \(y = mx + m\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt \(A\left( { - 1\,;\,\,0} \right),\,\,B,\,\,C\) sao cho \(\Delta OCB\) có diện tích bằng 64.\(m\)

Cách 1: Ta có \(d\left( {O,\,\,BC} \right) = \frac{m}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\).

\(BC = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right){{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x_B} + {x_C}} \right)}^2} - 4{x_B}{x_C}} \right]}  = \sqrt {\left( {{m^2} + 1} \right)4m} \)

\( \Rightarrow {S_{OBC}} = \frac{1}{2}d\left( {O,\,\,BC} \right) = m\sqrt m  = 64 \Leftrightarrow m = 16.\)

Cách 2: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\({x^3} - 3{x^2} + 4 = mx + m\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{{{\left( {x - 2} \right)}^2} = m\,\,\,(*)}\end{array}} \right.\)

Để đường thẳng \(d:y = mx + m\) cắt \((C)\) tại 3 điểm phân biệt thì

\((*)\) có hai nghiệm phân biệt khác\( - 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 9\end{array} \right.\)

\[(*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt m  \Rightarrow B\left( {2 - \sqrt m \,;\,\,3m - m\sqrt m } \right)\\x = 2 + \sqrt m  \Rightarrow C\left( {2 + \sqrt m \,;\,\,3m + m\sqrt m } \right)\end{array} \right.\]

\(\overrightarrow {OB}  = \left( {2 - \sqrt m \,;\,\,3m - m\sqrt m } \right)\,,\,\,\overrightarrow {OC}  = \left( {2 + \sqrt m \,;\,\,3m + m\sqrt m } \right)\)

\( \Rightarrow {S_{OBC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} \,,\,\,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = m\sqrt m  = 64 \Rightarrow m = 16.\)

Đáp án: 16.