Câu hỏi:
21/06/2024 395
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(A\left( {0\,;\,\,a} \right).\) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) trong đoạn \(\left[ { - 2018\,;\,\,2018} \right]\) để từ điểm \(A\) kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C)\) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(A\left( {0\,;\,\,a} \right).\) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) trong đoạn \(\left[ { - 2018\,;\,\,2018} \right]\) để từ điểm \(A\) kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C)\) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\) Ta có \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) tại điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,\,\frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}} \right)\) là
\(y = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}.\)
Tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,\,a} \right)\) nên \(a = \frac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {{x_0} + 2} \right)}}{{\left( {{x_0} - 1} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} \ne 1}\\{3{x_0} + \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {{x_0} - 1} \right) = a{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} \ne 1}\\{\left( {a - 1} \right)x_0^2 - 2\left( {a + 2} \right){x_0} + a + 2 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Để từ điểm \(A\) kẻ được 2 tiếp tuyến đến \((C)\) thì \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nên
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 1 \ne 0}\\{\Delta ' > 0}\\{\left( {a - 1} \right) - 2\left( {a + 2} \right) + a + 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 1}\\{{{\left( {a + 2} \right)}^2} - \left( {a - 1} \right)\left( {a + 2} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 1}\\{a > - 2}\end{array}\,\,(*).} \right.} \right.} \right.\)
Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình (1).
Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {a + 2} \right)}}{{a - 1}}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{a + 2}}{{a - 1}}}\end{array}} \right.\)
Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi \(y\left( {{x_1}} \right) \cdot y\left( {{x_2}} \right) < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{9a + 6}}{{ - 3}} < 0 \Leftrightarrow a > - \frac{2}{3}{\rm{. }}\)
Kết hợp với điều kiện \((*)\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > - \frac{2}{3}}\\{a \ne 1}\end{array}} \right.\).
Mà \[a \in \left[ { - 2018\,;\,\,2018} \right],\,\,a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ {0\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots ;\,\,2018} \right\}.\]
Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của \(a\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: 2018.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bố dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường parabol. Tính thể tích cm3 tối đa mà cốc có thể chứa được (làm tròn đến hàng đơn vị).
Xem đáp án »
13/07/2024
37,402
Câu 2:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 25\,;\,\,25} \right]\) sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 10}}\) có đúng 2 đường tiệm cận đứng?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 25\,;\,\,25} \right]\) sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 10}}\) có đúng 2 đường tiệm cận đứng?
Xem đáp án »
21/06/2024
12,032
Câu 3:
Lĩnh vực nào sau đây không đặt ra làm mục tiêu hợp tác chính trong Liên minh châu Âu (EU)?
Xem đáp án »
08/08/2024
8,909
Câu 4:
Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(3\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - m + 5 = 0\) có nghiệm?
Xem đáp án »
21/06/2024
5,448
Câu 6:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\left| {x - 1} \right|.\) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) + F\left( 0 \right) = 5.\) Giá trị của biểu thức \(P = F\left( 3 \right) + F\left( { - 2} \right)\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\left| {x - 1} \right|.\) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) + F\left( 0 \right) = 5.\) Giá trị của biểu thức \(P = F\left( 3 \right) + F\left( { - 2} \right)\) bằng
Xem đáp án »
21/06/2024
3,690
Câu 7:
Khó khăn lớn nhất của Đông Nam Bộ trong phát triển nông nghiệp là
Xem đáp án »
08/08/2024
3,060
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 8)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận