Câu hỏi:

13/07/2024 218

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho \(A\left( { - 3\,;\,\,1\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,5} \right)\) và mặt phẳng \((P):2x - y + 2z + 11 = 0.\) Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \[A,\,\,B\] và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm C. Biết \(C\) luôn thuộc một đường tròn \[\left( T \right)\] cố định. Bán kính \(r\) của đường tròn \[\left( T \right)\] là

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right)\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\) Do đó \(AB \bot (P).\)

Giả sử mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)

Mặt cầu \((S)\) đi qua hai điểm A, B nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9 + 1 + 1 + 6a - 2b - 2c + d = 0}\\{1 + 1 + 25 - 2a + 2b - 10c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6a - 2b - 2c + d =  - 11}\\{2a - 2b + 10c - d = 27}\end{array}} \right.} \right.\).

Media VietJack

Suy ra \(8a - 4b + 8c = 16 \Leftrightarrow 2a - b + 2c = 4.\)

Mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với \((P)\) nên ta có

 \(d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2a - b + 2c + 11} \right|}}{3} = 5.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\,4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = 6.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \[AB\] ta có

\(d\left( {C\,,\,\,AB} \right) = IM = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4.\)

Vậy \(C\) luôn thuộc một đường tròn \(\left( T \right)\) cố định có bán kính \(r = 4.\)

Đáp án: 4.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

Parabol có dạng \((P):y = a{x^2}\)

\((P)\) đi qua \(A\left( { - \,4\,;\,\,10} \right)\), ta có \(10 = a{.4^2} \Leftrightarrow a = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\)

Suy ra parabol có phương trình \(y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y.\)

Thể tích tối đa của cốc là \(V = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)} \,{\rm{d}}y \approx 251\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Đáp án: 251.

Lời giải

Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 2mx + 3m + 10 = 0\) có hai nghiệm thoả mãn \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt và hai nghiệm khác 1.

Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{1 - 2m + 3m + 10 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 3m - 10 > 0}\\{m \ne  - 11}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m <  - 2}\\{m > 5}\end{array}} \right.}\\{m \ne  - 11}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\,,\,\,m \in \left[ { - 25\,;\,\,25} \right]\) nên có 42 giá trị nguyên \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP