Cho mặt phẳng \((P):x + y - 3z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\,,\)\(B\left( {0\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right),\)\(C\left( {2\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right).\) Biết điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}\,;\,\,{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(M{A^2} + 3M{B^2} - 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(T = {x_0} + 3{y_0} - 2{z_0}\) bằng bao nhiêu?
Cho mặt phẳng \((P):x + y - 3z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\,,\)\(B\left( {0\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right),\)\(C\left( {2\,;\,\,3\,;\,\, - 1} \right).\) Biết điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,\,{y_0}\,;\,\,{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \((P)\) sao cho \(M{A^2} + 3M{B^2} - 2M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(T = {x_0} + 3{y_0} - 2{z_0}\) bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(I\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0 \Rightarrow I\left( { - 1\,;\,\, - 5\,;\,\,4} \right).\)
Khi đó \(T = M{A^2} + 3M{B^2} - 2M{C^2} = 2M{I^2} + I{A^2} + 3I{B^2} - 2I{C^2}\)
\( \Rightarrow {T_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\max }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Khi đó đường thẳng \[MI\] đi qua \(I\left( { - 1\,;\,\, - 5\,;\,\,4} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên nhận vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - 3} \right)\) của \(\left( P \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = - 5 + t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right..\)
Mặt khác \(M = IM \cap \left( P \right)\) nên toạ độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình sau:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = - 5 - t}\\{z = 4 - 3t}\\{5x - y + z - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{x = 0}\\{y = - 4}\\{z = 1}\end{array} \Rightarrow M\left( {0\,;\,\, - 4\,;\,\,1} \right) \Rightarrow T = - 14.} \right.} \right.\)
Đáp án: −14.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Parabol có dạng \((P):y = a{x^2}\)
\((P)\) đi qua \(A\left( { - \,4\,;\,\,10} \right)\), ta có \(10 = a{.4^2} \Leftrightarrow a = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\)
Suy ra parabol có phương trình \(y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y.\)
Thể tích tối đa của cốc là \(V = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)} \,{\rm{d}}y \approx 251\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)
Đáp án: 251.Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 2mx + 3m + 10 = 0\) có hai nghiệm thoả mãn \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt và hai nghiệm khác 1.
Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{1 - 2m + 3m + 10 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 3m - 10 > 0}\\{m \ne - 11}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 2}\\{m > 5}\end{array}} \right.}\\{m \ne - 11}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).
Do \(m \in \mathbb{Z}\,,\,\,m \in \left[ { - 25\,;\,\,25} \right]\) nên có 42 giá trị nguyên \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập