Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 5\,;\,\,5} \right]\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) + m \cdot {f^2}\left( x \right) - 3f\left( x \right) + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1\,;\,\,1} \right).\) Tổng các phần tử của \(S\) bằng

Ta có: \(y' = f'\left( x \right) \cdot \left[ {{f^2}\left( x \right) + 2mf\left( x \right) - 3} \right]\)

Vói mọi \(x \in \left( { - 1\,;\,\,1} \right)\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) \ge 0}\\{f\left( x \right) \in \left( {1\,;\,\,3} \right)}\end{array}} \right..\)

Hàm số đã cho đồng biến nên ta có \(y' \ge 0 \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + 2m \cdot f\left( x \right) - 3 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) - \frac{3}{{f(x)}} + 2m \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2m \ge \frac{3}{{f\left( x \right)}} - f\left( x \right).\)

Xét hàm \(h\left( t \right) = \frac{3}{t} - t\) trên \(\left( {1\,;\,\,3} \right)\) có \(h'\left( t \right) =  - \frac{3}{{{t^2}}} - 1 < 0\,\,\forall t \in \left( {1\,;\,\,3} \right)\)

Suy ra \(h\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1\,;\,\,3} \right)\) và \(h\left( t \right) < h\left( 1 \right) = \frac{3}{1} - 1 = 2.\)

Với \(f(x) = t\) suy ra \(2m \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 1.\)

Kết hợp với yêu cầu bài toán ta có \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5} \right\}\). Do đó \(S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.{\rm{ }}\)

Đáp án: 15.