Cho số phức \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\) thoả mãn \(z + 2 + i - \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0\) và \(\left| z \right| > 1.\) Tính \(a + b.\)

Theo giả thiết: \(z + 2 + i - \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow z = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 2 + \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right)i = a + bi\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 2\\b = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} = {a^2} + {b^2}\\a + 2 = b + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 4 = {b^2}\\b = a + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4b = {b^2}\\b = a + 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = 4\end{array} \right.\\a = b - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Loại \(a =  - 1\,;\,\,b = 0\) vì \(\left| z \right| > 1.\) Suy ra \(a = 3\,;\,\,b = 4\)\( \Rightarrow a + b = 7.\)

Đáp án: 7.