Câu hỏi:
13/07/2024 88
Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\) và hai điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right),\] \[B\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 2} \right).\] Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \((P)\) và \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất. Giá trị \[abc\] bằng
Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\) và hai điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right),\] \[B\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 2} \right).\] Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \((P)\) và \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất. Giá trị \[abc\] bằng
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách 1: Ta thấy \[A\] và \[B\] nằm khác phía so với \[\left( P \right).\]
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( P \right),\,\,AA' \cap \left( P \right) = H.\)
Phương trình đường thẳng \(AA'\) là:
\(x - 1 = y + 3 = t \Rightarrow H\left( {t + 1\,;\,\,t - 3\,;\,\,t} \right).\)
\(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {t + 1} \right) + \left( {t - 3} \right) + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right).\)
Vì \(H\) là trung điểm \(AA'\) nên \(A'\left( {3\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\)
Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\] (bất đẳng thức tam giác)
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng.
\(\overrightarrow {A'B} = \left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 4} \right) = 2\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{A'B}}} = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right).\)
Do đó, phương trình đường thẳng \(A'B\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + k}\\{y = - 1}\\{z = 2 - 2k}\end{array} \Rightarrow M\left( {3 + k\,;\,\, - 1\,;\,\,2 - 2k} \right)} \right..\)
\[M \in \left( P \right) \Rightarrow 3 + k - 1 + 2 - 2k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 3 \Rightarrow M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right)\].
Vậy \(abc = 6 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 24.\)
Cách 2: Ta thấy \(A\) và \(B\) nằm khác phía so với \[\left( P \right).\]
Gọi \(B' = \left( {\frac{{13}}{3}\,;\,\, - \frac{5}{3}\,;\,\, - \frac{8}{3}} \right)\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \[\left( P \right).\]
Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\].
Do đó \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất bằng \(AB'\) khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB'\) với mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên \(M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right) \Rightarrow abc = 24.{\rm{ }}\)
Đáp án: 24.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - mx + \frac{2}{3}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,6} \right)\)?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - mx + \frac{2}{3}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,6} \right)\)?
Xem đáp án »
13/07/2024
5,011
Câu 3:
Vị trí địa lí nước ta không tạo thuận lợi cho hoạt động nào sau đây?
Xem đáp án »
22/07/2024
2,584
Câu 5:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) đế hàm số \(y = {x^3} - \left( {3m + 6} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 12m} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,3} \right].\]
Xem đáp án »
21/06/2024
1,137
Câu 6:
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức \(G\left( x \right) = 0,024{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp \[(x\] được tính bằng \[mg).\] Lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức \(G\left( x \right) = 0,024{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp \[(x\] được tính bằng \[mg).\] Lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là
Xem đáp án »
13/07/2024
1,080
Câu 7:
Điền vào các ô của hình vuông 5 x 5 trong hình vẽ bên sao cho 5 số trên cùng một hàng từ trái qua phải luôn là một cấp số cộng, 5 số trên cùng một cột từ trên xuống dưới luôn là một cấp số cộng. Tìm số X.
Xem đáp án »
21/06/2024
745
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 4)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Nghĩa của từ
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 13)
về câu hỏi!