Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\) và hai điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right),\] \[B\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 2} \right).\] Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \((P)\) và \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất. Giá trị \[abc\] bằng

Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\] (bất đẳng thức tam giác)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow {A'B}  = \left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 4} \right) = 2\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{A'B}}}  = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right).\)

Do đó, phương trình đường thẳng \(A'B\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + k}\\{y =  - 1}\\{z = 2 - 2k}\end{array} \Rightarrow M\left( {3 + k\,;\,\, - 1\,;\,\,2 - 2k} \right)} \right..\)

\[M \in \left( P \right) \Rightarrow 3 + k - 1 + 2 - 2k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 3 \Rightarrow M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right)\].

Vậy \(abc = 6 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 24.\)

Cách 2: Ta thấy \(A\) và \(B\) nằm khác phía so với \[\left( P \right).\]

Gọi \(B' = \left( {\frac{{13}}{3}\,;\,\, - \frac{5}{3}\,;\,\, - \frac{8}{3}} \right)\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \[\left( P \right).\]

Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\].

Do đó \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất bằng \(AB'\) khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB'\) với mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên \(M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right) \Rightarrow abc = 24.{\rm{ }}\)

Đáp án: 24.