Câu hỏi:
13/07/2024 65
Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\) và hai điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right),\] \[B\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 2} \right).\] Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \((P)\) và \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất. Giá trị \[abc\] bằng
Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\) và hai điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right),\] \[B\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 2} \right).\] Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \((P)\) và \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất. Giá trị \[abc\] bằng
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách 1: Ta thấy \[A\] và \[B\] nằm khác phía so với \[\left( P \right).\]
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( P \right),\,\,AA' \cap \left( P \right) = H.\)
Phương trình đường thẳng \(AA'\) là:
\(x - 1 = y + 3 = t \Rightarrow H\left( {t + 1\,;\,\,t - 3\,;\,\,t} \right).\)
\(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {t + 1} \right) + \left( {t - 3} \right) + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right).\)
Vì \(H\) là trung điểm \(AA'\) nên \(A'\left( {3\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\)
Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\] (bất đẳng thức tam giác)
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng.
\(\overrightarrow {A'B} = \left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 4} \right) = 2\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{A'B}}} = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right).\)
Do đó, phương trình đường thẳng \(A'B\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + k}\\{y = - 1}\\{z = 2 - 2k}\end{array} \Rightarrow M\left( {3 + k\,;\,\, - 1\,;\,\,2 - 2k} \right)} \right..\)
\[M \in \left( P \right) \Rightarrow 3 + k - 1 + 2 - 2k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 3 \Rightarrow M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right)\].
Vậy \(abc = 6 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 24.\)
Cách 2: Ta thấy \(A\) và \(B\) nằm khác phía so với \[\left( P \right).\]
Gọi \(B' = \left( {\frac{{13}}{3}\,;\,\, - \frac{5}{3}\,;\,\, - \frac{8}{3}} \right)\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \[\left( P \right).\]
Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\].
Do đó \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất bằng \(AB'\) khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB'\) với mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên \(M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right) \Rightarrow abc = 24.{\rm{ }}\)
Đáp án: 24.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - mx + \frac{2}{3}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,6} \right)\)?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - mx + \frac{2}{3}\) có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0\,;\,\,6} \right)\)?
Xem đáp án »
13/07/2024
3,605
Câu 3:
Vị trí địa lí nước ta không tạo thuận lợi cho hoạt động nào sau đây?
Xem đáp án »
22/07/2024
2,075
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) đế hàm số \(y = {x^3} - \left( {3m + 6} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 12m} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn \[\left[ {1\,;\,\,3} \right].\]
Xem đáp án »
21/06/2024
1,025
Câu 6:
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức \(G\left( x \right) = 0,024{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp \[(x\] được tính bằng \[mg).\] Lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức \(G\left( x \right) = 0,024{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp \[(x\] được tính bằng \[mg).\] Lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là
Xem đáp án »
13/07/2024
835
Câu 7:
Hai chất điểm dao động có li độ phụ thuộc theo thời gian được biểu diễn tương ứng bởi hai đồ thị (1) và (2) như hình vẽ. Nhận xét nào dưới đây đúng khi nói về dao động của hai chất điểm?
Hai chất điểm dao động có li độ phụ thuộc theo thời gian được biểu diễn tương ứng bởi hai đồ thị (1) và (2) như hình vẽ. Nhận xét nào dưới đây đúng khi nói về dao động của hai chất điểm?
Xem đáp án »
22/07/2024
580
về câu hỏi!