Xét các số thực dương phân biệt $x,\,\,y$ thỏa mãn $\frac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3.$ Khi biểu thức ${4^{x + y}} + 16 \cdot {3^{y - x}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $x + 3y = a - {\log _b}a$ với $a,\,\,b$ là các số nguyên dương. Tính $a + b.$

Ta có $\frac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3 \Leftrightarrow y - x =  - \left( {x + y} \right){\log _3}2$ thế vào biểu thức $P = {4^{x + y}} + {16.3^{y - x}}$

Ta được $P = {4^{x + y}} + {16.3^{ - \left( {x + y} \right){{\log }_3}2}} = {4^{x + y}} + {16.2^{ - \left( {x + y} \right)}} = {4^{x + y}} + \frac{{16}}{{{2^{x + y}}}}$

Cách 1: Đặt $t = {2^{x + y}} > 0$ ta được $P = {t^2} + \frac{{16}}{t} = f\left( t \right)$ và $f'\left( t \right) = 2t - \frac{{16}}{{{t^2}}} \Leftrightarrow t = 2$

Lập bảng biến thiên suy ra ${P_{\min }} = 12$ khi $t = {2^{x + y}} = 2 \Leftrightarrow x + y = 1.$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $P = {2^{2\left( {x + y} \right)}} + \frac{8}{{{2^{x + y}}}} + \frac{8}{{{2^{x + y}}}} \ge 3\sqrt[3]{{8 \cdot 8}} = 12.$

Dấu  xảy ra  ${2^{2\left( {x + y} \right)}} = \frac{8}{{{2^{x + y}}}} \Rightarrow {2^{3\left( {x + y} \right)}} = {2^3} \Leftrightarrow x + y = 1$.

Kết hợp với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{y - x =  - {{\log }_3}2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{x - y = {{\log }_3}2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}}\\{y = \frac{{1 - {{\log }_3}2}}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

Suy ra $x + 3y = \frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2} + 3 \cdot \frac{{1 - {{\log }_3}2}}{2} = 2 - {\log _3}2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 3}\end{array} \Rightarrow a + b = 5} \right..$

Đáp án: 5.