Cho parabol \((P):{y^2} = 4x\) và đường thẳng \(d:2x - y - 4 = 0.\) Gọi \[A,\,\,B\] là giao điểm của \(d\) và \((P).\) Tìm tung độ dương của điểm \(C \in (P)\) sao cho \(\Delta ABC\) có diện tích bằng 12.

Ta có phương trình tung độ giao điểm của \(d\) và \((P)\) là:

\(\frac{{{y^2}}}{4} = \frac{{y + 4}}{2} \Leftrightarrow {y^2} - 2y - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 4 \Rightarrow x = 4}\\{y =  - 2 \Rightarrow x = 1}\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow d\) cắt \((P)\) tại hai điểm là: \[A\left( {4\,;\,\,4} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\, - 2} \right).\]

\(C \in (P) \Rightarrow C = \left( {{c^2}\,;\,\,2c} \right){\rm{. }}\)

\(\overrightarrow {AC}  = \left( {{c^2} - 4\,;\,\,2c - 4} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {{c^2} - 1\,;\,\,2c + 2} \right){\rm{. }}\)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left( {{c^2} - 4} \right)\left( {2c + 2} \right) - \left( {{c^2} - 1} \right)\left( {2c - 4} \right)} \right| = 12\)

\( \Leftrightarrow \left| {6{c^2} - 6c - 12} \right| = 24 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{c^2} - c - 6 = 0}\\{{c^2} - c + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{c =  - 2}\\{c = 3}\end{array}.} \right.} \right.\)

Vậy tung độ của điểm C là 6. Chọn B.