Cho các số phức \[z\,,\,\,w\] thoả mãn \(\left| z \right| = 2\) và \(\left| {w - 3 + 2i} \right| = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của \(\left| {{z^2} - 2zw - 4} \right|.\)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \({I_1}\left( {0\,;\,\,0} \right)\), bán kính \({R_1} = 2.\)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \({I_2}\left( {3\,;\,\, - 2} \right)\), bán kính \({R_2} = 1.\)

Gọi \(M\left( z \right),\,\,N\left( w \right) \Rightarrow M \in \left( {{C_1}} \right)\) và \(N \in \left( {{C_2}} \right).\)

Ta có \(\left| {{z^2} - 2zw - 4} \right| = {\left. {\left| {{z^2} - 2zw - } \right|z} \right|^2}| = \left| {{z^2} - 2zw - z \cdot \bar z} \right|\)

\[ = \left| {z \cdot \left( {z - 2w - \bar z} \right)} \right| = \left| z \right| \cdot \left| {z - \bar z - 2w} \right| = 2\left| {z - \bar z - 2w} \right|\] \( = 2\left| {\left( {x + yi} \right) - \left( {x - yi} \right) - 2w} \right| = 2\left| {2yi - 2w} \right| = 4\left| {yi - w} \right| = 4HN\).

Với \[H\left( {0\,;\,\,y} \right)\] nằm trên đường tròn \(\left( {{C_1}} \right).\)

Do đó \(H{N_{\max }} = 6\) với \(H\left( {0\,;\,\,2} \right)\) và \(N\) là giao điểm của \(H{I_2}\) với \(\left( {{C_2}} \right).\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| {{z^2} - 2zw - 4} \right|\) bằng 24 .

Đáp án: 24.