Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\) đồng thời thoả mãn \(f\left( 1 \right) = \frac{5}{2},\,\,g\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\) và \(g\left( x \right) =  - x \cdot f'\left( x \right),\,\,f\left( x \right) =  - x \cdot g'\left( x \right)\,\,\forall x > 0.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 3,\,\,x = 5\) bằng

Ta có \(f\left( x \right) - g\left( x \right) =  - x \cdot g'\left( x \right) + x \cdot f'\left( x \right) = x \cdot \left[ {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right]\)

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\).

Do đó \(h\left( x \right) = x \cdot h'\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{h'\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \int {\frac{{h'\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x\)

\( \Leftrightarrow \ln \left| {h\left( x \right)} \right| = \ln x + C\) mà \(h(1) = f(1) - g(1) = 2\) nên \(C = \ln 2.\)

Suy ra \(\ln \left| {h\left( x \right)} \right| = \ln x + \ln 2 \Leftrightarrow \ln \left| {h\left( x \right)} \right| = \ln \left( {2x} \right) \Leftrightarrow \left| {h\left( x \right)} \right| = 2x\).

Vậy diện tích cần tính là \(S = \int\limits_3^5 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_3^5 {\left| {h\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_3^5 {2x} \,{\rm{d}}x = 16.\)

Đáp án: 16.