Cho các số thực \[b,\,\,c\] sao cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 4 + 3i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} - 8 - 6i} \right| = 4.\) Tính \(5b + c.\)

Xét phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức với \({z_1} = x + yi\) và \({z_2} = x - yi.\)

• Xét \(\left| {{z_1} - 4 + 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 1\) (1).

• Xét \(\left| {{z_2} - 8 - 6i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 8} \right) + \left( { - y - 6} \right)i} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {x - 8} \right)^2}{\left( {y + 6} \right)^2} = 16\) (2).

Lập hệ với (1) và (2), ta được: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} = 1}\\{{{\left( {x - 8} \right)}^2} + {{\left( {y + 6} \right)}^2} = 16}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{24}}{5}}\\{y = \frac{{ - 18}}{5}}\end{array}} \right.} \right..\]

Suy ra: \({z_1} = \frac{{24}}{5} - \frac{{18}}{5}i\) và \({z_2} = \frac{{24}}{5} + \frac{{18}}{5}i.\)

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + {z_2} =  - b = \frac{{48}}{5} \Rightarrow b = \frac{{ - 48}}{5}}\\{{z_1}.{z_2} = c = 36}\end{array} \Rightarrow 5b + c =  - 12} \right..\)

Đáp án: −12.