Một loại kẹo có hình dạng là khối cầu với bán kính đáy bằng \[1{\rm{ }}cm\] được đặt trong vỏ kẹo có hình dạng là hình chóp tứ giác đều (các mặt của vỏ tiếp xúc với kẹo). Biết rằng khối chóp đều tạo thành từ vỏ kẹo đó có thể tích bé nhất. Tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo bằng

Dễ thấy  suy ra \(\frac{{SI}}{{SM}} = \frac{{OK}}{{OM}} \Rightarrow \frac{{SO - OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \frac{{IK}}{{OM}}.\)

Suy ra \(\frac{{h - 1}}{{\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{1}{{\frac{a}{2}}} \Leftrightarrow ah - a = \sqrt {4{h^2} + {a^2}}  \Leftrightarrow {(ah - a)^2} = 4{h^2} + {a^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{h^2} - 2{a^2}h + {a^2} = 4{h^2} + {a^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4} \right){h^2} - 2{a^2}h = 0 \Rightarrow h = \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 4}}.\)

Thể tích khối chóp \[S.ABCD\] là: \(V = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 4}} \cdot {a^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{{a^4}}}{{{a^2} - 4}}\)

Lại có \(\frac{{{a^4}}}{{{a^2} - 4}} = \frac{{{a^4} - 16 + 16}}{{{a^2} - 4}} = \frac{{\left( {{a^2} - 4} \right)\left( {{a^2} + 4} \right) + 16}}{{{a^2} - 4}} = {a^2} + 4 + \frac{{16}}{{{a^2} - 4}}\)

\( = \left( {{a^2} - 4 + \frac{{16}}{{{a^2} - 4}}} \right) + 8 \ge 2\sqrt {\left( {{a^2} - 4} \right) \cdot \frac{{16}}{{{a^2} - 4}}}  + 8 = 2 \cdot \sqrt {16}  + 8 = 16.{\rm{ }}\)

Suy ra \(V \ge \frac{2}{3} \cdot 16 = \frac{{32}}{3}.\) Dấu  xảy ra khi \(a = 2\sqrt 2  \Rightarrow h = 4 \Rightarrow OM = \sqrt 2 \,,\,\,SM = 3\sqrt 2 .\)

Vậy tổng diện tích tất cả các mặt xung quanh của vỏ kẹo là \(S = 4 \cdot {S_{SCD}} = 24\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Đáp án: 24.