Một doanh nghiệp có 45% nhân viên là nữ. Tỉ lệ nhân viên nữ và tỉ lệ nhân viên nam mua bảo hiểm nhân thọ lần lượt là 7% và 5%. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của doanh nghiệp.

a) Tính xác suất nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ.

b) Biết rằng nhân viên được chọn có mua bảo hiểm nhân thọ. Tính xác suất nhân viên đó là nam.

Gọi A là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ nhất” và B là biến cố “Lấy được hai viên bi đỏ từ hộp thứ 2”.

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_6^2}} = \frac{2}{3}\), \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}\).

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = \frac{1}{3}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}\).

a) Ta cần tính P(B).

Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}} + \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{{19}}{{45}}\).

b) Cần tính P(A|B).

Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\( = \frac{2}{3}.\frac{7}{{15}}:\frac{{19}}{{45}} = \frac{{14}}{{19}}\).

Gọi A là biến cố “Lấy được quả bóng vàng ở hộp thứ nhất ”; B là biến cố “Lấy được đúng 1 quả bóng màu vàng ở hộp thứ hai” và C là biến cố “Các quả bóng lấy ra từ hộp thứ hai đều có màu trắng”.

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{3}{8};P\left( {\overline A } \right) = \frac{5}{8}\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_6^1.C_4^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_6^1C_4^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{3}{{10}}\).

a) Ta có sơ đồ cây

Dựa vào sơ đồ cây, ta có \(P\left( B \right) = \frac{1}{5} + \frac{3}{{16}} = \frac{{31}}{{80}}\).

b) Ta cần tính P(A|C).

Ta có \(P\left( {A|C} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {C|A} \right)}}{{P\left( C \right)}}\)

Ta có \(P\left( {C|A} \right) = \frac{{C_4^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{{15}}\); \(P\left( {C|\overline A } \right) = \frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}\)

Mà \(P\left( C \right) = P\left( A \right).P\left( {C|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {C|\overline A } \right)\)\( = \frac{3}{8}.\frac{2}{{15}} + \frac{5}{8}.\frac{1}{{30}} = \frac{{17}}{{240}}\).

Vậy \(P\left( {A|C} \right) = \frac{3}{8}.\frac{2}{{15}}:\frac{{17}}{{240}} = \frac{{12}}{{17}}\).