Cho hai số phức phân biệt \({z_1}\) và \({z_2}.\) Hỏi trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức \[z\] là một đường thẳng nếu điều kiện nào sau đây được thỏa mãn?

Gọi \({{\rm{I}}_1},\,\,{{\rm{I}}_2},\,\,{\rm{M}}\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \({{\rm{z}}_1},\,\,{{\rm{z}}_2},\,\,{\rm{z}}{\rm{.}}\)

Phương án A: \({z_1}\) và \({z_2}\) là các số phức phân biệt cho trước nên đặt \(R = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| > 0\).

\(\left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = R \Rightarrow \) tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là giao điểm của hai đường tròn có tâm lần lượt là \({{\rm{I}}_1},\,\,{{\rm{I}}_2}\) (là các điểm biểu diễn số phức \({{\rm{z}}_1}\) và \({{\rm{z}}_2}\)), bán kính \({\rm{R}}{\rm{.}}\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z không phải là đường thẳng. Loại phương án A.

Phương án B: \(\left| {{\rm{z}} - {{\rm{z}}_2}} \right| = 1 \Rightarrow \) tập hợp điểm biểu diễn số phức \({\rm{z}}\) là đường tròn có tâm \({{\rm{I}}_2}\) (là các điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) ), bán kính \(R\). Loại phương án B.

Phương án C: \(\left| {z - {z_1}} \right| = 1 \Rightarrow \) tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có tâm \({I_1}\) (là các điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) ), bán kính \({\rm{R}}\). Loại phương án C.

Phương án D: \(\left| {{\rm{z}} - {{\rm{z}}_1}} \right| = \left| {{\rm{z}} - {{\rm{z}}_2}} \right| \Leftrightarrow {{\rm{I}}_1}{\rm{M}} = {{\rm{I}}_2}{\rm{M}}\).

Do \({{\rm{z}}_1} \ne {{\rm{z}}_2} \Rightarrow {{\rm{I}}_1}\cancel{ \equiv }{{\rm{I}}_2}\) nên tập hợp điểm biểu diễn số phức \({\rm{z}}\) là đường trung trực của đoạn \({{\rm{I}}_1}{{\rm{I}}_2}.\)

Vậy phương án D thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.