Trên giá sách có 10 quyển sách Khoa học và 15 quyển sách Nghệ thuật. Có 9 quyển sách viết bằng tiếng Anh, trong đó 3 quyển sách Khoa học và 6 quyển sách Nghệ thuật, các quyển sách còn lại viết bằng tiếng Việt. Lấy ngẫu nhiên một quyển sách. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để quyển sách được lấy ra là sách viết bằng tiếng Việt, biết rằng quyển sách đó là sách Khoa học.

Xét hai biến cố:

A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”;

B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.

Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là xác suất có điều kiện P(B | A).

Nếu A xảy ra tức là sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp. Khi đó, trong lô sản phẩm còn lại 19 sản phẩm với 4 sản phẩm chất lượng thấp. Vậy P(B | A) = .

Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là .

Cách 1:

Theo bài ra ta có: n(Ω) = 7 ∙ 7 = 49; n(A) = 3 ∙ 7 = 21; n(B) = 7 ∙ 4 = 28.

Do đó, P(A) = ; P(B) = . Suy ra .

Ta có biến cố A ∩ B: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất và quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”. Suy ra P(A ∩ B) = .

Khi đó, P(A | B) = .

Ta có biến cố A ∩ : “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở cả hai lần”.

Suy ra P(A ∩ ) = .

Khi đó, P(A | ) = .

Vậy ta có P(A) = P(A | B) = P(A | ) = . (1)

Tương tự, ta tính được:

P(B | A) = ;  P(B | ) = .

Vậy ta có P(B) = P(B | A) = P(B | ) = . (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, B là hai biến cố độc lập.

Cách 2:

Nếu A xảy ra, tức là quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất. Vì quả bóng lấy ra được bỏ lại vào hộp nên trong hộp có 3 quả bóng xanh và 4 quả bóng đỏ.

Vậy P(B) = .

Nếu A không xảy ra, tức là quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ nhất. Vì quả bóng lấy ra được bỏ lại vào hộp nên trong hộp vẫn có 3 quả bóng xanh và 4 quả bóng đỏ.

Vậy P(B) = .

Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A.

Vì lần thứ nhất lấy và lần thứ hai lấy sau lần thứ nhất nên P(A) = dù biến cố B có xảy ra hay không xảy ra.

Vậy A và B là hai biến cố độc lập.