Cho bất phương trình \(2 + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {y - 1} \right) \le {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {{x^2} - 2\left( {3 + y} \right)x + 2{y^2} + 24} \right]\). Hỏi bất phương trình đã cho có bao nhiêu số nguyên \(y \in \left( { - 2022\,;\,\,2022} \right]\) để nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}?\)

Đáp án: ……….

Bài toán áp dụng: \(a{x^2} + bx + c > 0;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right..\)

Coi \(y\) chính là tham số m. Bài toán trở thành:

\(2 + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {m - 1} \right) \le {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {{x^2} - 2\left( {3 + m} \right)x + 2{m^2} + 24} \right]\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}3 + {\log _{\sqrt 3 }}\left( {m - 1} \right) \le {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {{x^2} - 2\left( {3 + m} \right)x + 2{m^2} + 24} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 > 0}\\{{x^2} - 2\left( {3 + m} \right)x + 2{m^2} + 24 > 0}\\{3\left( {m - 1} \right) \le {x^2} - 2\left( {3 + m} \right)x + 2{m^2} + 24}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{{x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2{m^2} + 24 > 0}\\{{x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + 2{m^2} - 3m + 27 > 0}\\{m > 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 3} \right)^2} - 2{m^2} - 24 < 0\\{\left( {m + 3} \right)^2} - 2{m^2} + 3m - 27 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 6\\1 < m \le 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với \(y \in \left( { - 2022\,;\,\,2022} \right]\) và \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\)

Suy ra có \(\left( {2022 - 6 + 1} \right) + 2 = 2019\) giá trị nguyên cần tìm.

Đáp án: 2019.