Cho mặt phẳng \(\left( P \right):5x - y + z - 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {0\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\, - 1} \right).\) Biết điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(M{A^2} - 2M{B^2}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó điểm \(M\) có hoành độ \({x_M}\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: ……….

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn: \(IA - 2IB = 0 \Rightarrow I\left( { - 4\,;\,\,3\,;\,\, - 2} \right).\)

Khi đó \(T = M{A^2} - 2M{B^2} = - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2} \Rightarrow {T_{\max }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)

\( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Khi đó đường thẳng \[MI\] đi qua \(I\left( { - 4\,;\,\,3\,;\,\, - 2} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên nhận vectơ pháp tuyến \[\vec n\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right)\] của \(\left( P \right)\) làm vectơ chỉ phương, phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4 + 5t}\\{y = 3 - t}\\{z = - 2 + t}\end{array}\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)} \right..\)

Ta có \(M = IM \cap \left( P \right) \Rightarrow \) Tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4 + 5t}\\{y = 3 - t}\\{z = - 2 + t}\\{5x - y + z - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{x = 1}\\{y = 2}\\{z = - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Do đó \(M\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right) \Rightarrow {x_M} = 1.\)

Đáp án: 1.