Câu hỏi:
04/08/2024 41
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\) và \(\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1\,,\,\,\forall x \ge - 1.\) Biết rằng \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{a\sqrt 2 + b}}{{15}}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = a + b\).
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge - 1\)
\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge - 1\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt x {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge - 1\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)dx} = \frac{2}{3}\left[ {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} - x\sqrt x } \right] + C\)
Mà \(f\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \frac{2}{3}\left( {1 - 0} \right) + C = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 0\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{3}\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} - x\sqrt x } \right)\)
Khi đó ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} - x\sqrt x } \right)dx} \)
\( = \frac{2}{3}.\frac{2}{5}\left. {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {x + 1} - {x^2}\sqrt x } \right)} \right|_0^1\)\( = \frac{4}{{15}}\left[ {\left( {4\sqrt 2 - 1} \right) - \left( {1 - 0} \right)} \right]\)\( = \frac{{16\sqrt 2 - 8}}{{15}}\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 16}\\{b = - 8}\end{array}} \right.\).
Vậy \(T = a + b = 16 + \left( { - 8} \right) = 8\). Chọn D.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Ở sinh vật nhân sơ, mạch khuôn của đoạn gen B có trình tự các nuclêôtit trong vùng mã hoá như sau:
Gen B: 3’...TAX ATG AXX AGT TXA AGT AAT TTX TAG XAT ATT...5’.
Do đột biến điểm làm xuất hiện ba alen mới có trình tự các nuclêôtit tương ứng là:
Alen B1: 3’...TAX ATG AXX AGX TXA AGT AAT TTX TAG XAT ATT...5’.
Alen B2: 3’...TAX ATG AXX AGT TXA AGT AAT TAX TAG XAT ATT...5’.
Alen B3: 3’...TAX ATG AXX AGT TXA AGT AXT TAX TAG XAT ATT...5’.
Phát biểu nào sau đây đúng?
Ở sinh vật nhân sơ, mạch khuôn của đoạn gen B có trình tự các nuclêôtit trong vùng mã hoá như sau:
Gen B: 3’...TAX ATG AXX AGT TXA AGT AAT TTX TAG XAT ATT...5’.
Do đột biến điểm làm xuất hiện ba alen mới có trình tự các nuclêôtit tương ứng là:
Alen B1: 3’...TAX ATG AXX AGX TXA AGT AAT TTX TAG XAT ATT...5’.
Alen B2: 3’...TAX ATG AXX AGT TXA AGT AAT TAX TAG XAT ATT...5’.
Alen B3: 3’...TAX ATG AXX AGT TXA AGT AXT TAX TAG XAT ATT...5’.
Phát biểu nào sau đây đúng?
Xem đáp án »
04/08/2024
791
Câu 2:
Phương thức biểu đạt chính được sử dụng trong đoạn trích trên là gì?
Xem đáp án »
04/08/2024
413
Câu 3:
Chọn từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu dưới đây:
Địa đạo Củ Chi là một bức tranh _________ về chiến tranh du kích.
Chọn từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu dưới đây:
Địa đạo Củ Chi là một bức tranh _________ về chiến tranh du kích.
Xem đáp án »
04/08/2024
370
Câu 4:
PHẦN 2: TƯ DUY ĐỊNH TÍNH
Lĩnh vực: Ngữ văn (50 câu – 60 phút)
Những biện pháp tu từ nghệ thuật nào được sử dụng trong đoạn trích?
PHẦN 2: TƯ DUY ĐỊNH TÍNH
Lĩnh vực: Ngữ văn (50 câu – 60 phút)
Xem đáp án »
04/08/2024
323
Câu 5:
Trong đoạn trích, tác giả muốn đem phân tích và giải thích đối tượng nào?
Xem đáp án »
04/08/2024
238
Câu 7:
Xác định một từ/ cụm từ SAI về mặt ngữ pháp/ hoặc ngữ nghĩa/ logic/ phong cách.
Ông ấy luôn ý thức mình là người cầm cương nảy mực nên lúc nào cũng nêu cao tinh thần chí công vô tư.
Xác định một từ/ cụm từ SAI về mặt ngữ pháp/ hoặc ngữ nghĩa/ logic/ phong cách.
Ông ấy luôn ý thức mình là người cầm cương nảy mực nên lúc nào cũng nêu cao tinh thần chí công vô tư.
Xem đáp án »
04/08/2024
225
về câu hỏi!