Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right) = \frac{2}{3}$ và $\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1\,,\,\,\forall x \ge - 1.$ Biết rằng $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{a\sqrt 2 + b}}{{15}}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$. Tính $T = a + b$.

A. \[ - 8.\]

B. \[ - 24.\]

C. 24.

D. 8.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 28) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge - 1$

$ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {x + 1} }}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge - 1$$ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt x {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ge - 1$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt x } \right)dx} = \frac{2}{3}\left[ {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} - x\sqrt x } \right] + C$

Mà $f\left( 0 \right) = \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow \frac{2}{3}\left( {1 - 0} \right) + C = \frac{2}{3} \Rightarrow C = 0$$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{3}\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} - x\sqrt x } \right)$

Khi đó ta có: $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} - x\sqrt x } \right)dx} $

$ = \frac{2}{3}.\frac{2}{5}\left. {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {x + 1} - {x^2}\sqrt x } \right)} \right|_0^1$$ = \frac{4}{{15}}\left[ {\left( {4\sqrt 2 - 1} \right) - \left( {1 - 0} \right)} \right]$$ = \frac{{16\sqrt 2 - 8}}{{15}}$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 16}\\{b = - 8}\end{array}} \right.$.

Vậy $T = a + b = 16 + \left( { - 8} \right) = 8$. Chọn D.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian tọa độ \[Oxyz,\] cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$ và điểm \[M\] thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng \[OM\] là

A. 12.

B. 3.

C. 9.

D. 6.

Lời giải

$Trong không gian tọa độ \[Oxyz,\] cho mặt cầu và điểm \[M\] thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng \[OM\] là A. 12. B. 3. C. 9. D. 6. (ảnh 1)$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,2} \right)$, bán kính $R = 3.$

Với $M \in \left( S \right)$ ta có $O{M_{\max }} = OI + R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} + 3 = 6$.

Chọn D.

Câu 2

Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe S1S2 là 1 mm. Khoảng cách từ màn quan sát đến mặt phẳng chứa hai khe S1S2 là 2 m. Chiếu vào khe $S$ đồng thời hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng ${\lambda _1} = $$0,4\mu {\rm{m}}$ và $0,5\mu {\rm{m}} \le {\lambda _2} \le 0,65\mu {\rm{m}}.$ Trên màn, tại điểm ${\rm{M}}$ gần vân trung tâm nhất và cách vân trung tâm 5,6 mm có vân sáng cùng màu với vân sáng trung tâm. Tại vị trí điểm $N$ cách vân trung tâm 8,96 mm là vân sáng bậc mấy của bức xạ ${\lambda _2}$?

A. 8.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

Lời giải

Điểm M là vị trí trùng nhau của hai ánh sáng.

\[{x_M} = {k_1}\frac{{{\lambda _1}D}}{a} \Rightarrow 5,6 = {k_1}\frac{{0,4.2}}{1} \Rightarrow {k_1} = 7\]

Hai vân sáng trùng nhau tại M thoả mãn: \[\frac{{{k_1}}}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} \Rightarrow \frac{7}{{{k_2}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{0,4}} \Rightarrow {\lambda _2} = \frac{{2,8}}{{{k_2}}}\mu m\]

Mà \[0,5\mu {\rm{m}} \le {\lambda _2} \le 0,65\mu {\rm{m}} \Rightarrow 0,5 \le \frac{{2,8}}{{{k_2}}} \le 0,65 \Rightarrow 4,3 \le {k_2} \le 5,6 \Rightarrow {k_2} = 5\]

Vậy tại M thì vân sáng bậc 7 của bức xạ λ₁ trùng với vân sáng bậc 5 của bức xạ λ₂.

Do đó \[{\lambda _2} = \frac{{2,8}}{{{k_2}}} = \frac{{2,8}}{5} = 0,56\,\mu m\]

Tại vị trí điểm $N$ cách vân trung tâm 8,96 mm có: $x_{N} = k_{2}^{'} \frac{λ_{2} D}{a} \Rightarrow 8, 96 = k_{2}^{'} \frac{0, 56.2}{1} \Rightarrow k_{2}^{'} = 8$ ứng với vân sáng bậc 8 của bức xạ λ₂.