Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \,,\,\,y = - x\) và \(x = 4\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là \(V = \frac{{a\pi }}{b}\) với \(a,\,\,b > 0\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(T = a + b\).

Đáp án: ……….

Phương trình hoành độ giao điểm của \[y = \sqrt x ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = - {\mkern 1mu} x\] là \[\sqrt x = - {\mkern 1mu} x \Leftrightarrow x = 0\].

Khi đó, thể tích cần tính là \[V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( { - {\mkern 1mu} x} \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left| {x - {x^2}} \right|{\rm{d}}x} \]

\[ = \pi \int\limits_1^4 {\left| {x - {x^2}} \right|{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_1^4 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} + \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \]

\[ = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^4 + \left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{41\pi }}{3} = \frac{{a\pi }}{b}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 41}\\{b = 3}\end{array}} \right.\].

Vậy \[T = 44\].

Đáp án: 44.