Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm \[M\] biểu diễn của số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\] là phương trình đường thẳng có dạng \(ax + by + c = 0\). Khi đó tỉ số \(\frac{a}{b}\) bằng

Đáp án: ……….

Đặt \(z = a + bi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{R}} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\)\( \Leftrightarrow 6a + 8b + 5 = 0\).

Suy ra tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức z là đường thẳng \(6x + 8y + 5 = 0\).

Dựa vào các đáp án ta có:

Với \(A\left( { - 1\,;\,\, - 3} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,B\left( {2\,;\,\,1} \right)\)thì trung điểm của đoạn \[AB\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\,\, - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {3\,;\,\,4} \right)\) là VTPT của đường trung trực của \[AB\].

Suy ra phương trình đường trung trực của \[AB\] là:

\(3\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow 6x + 8y + 5 = 0\).

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng \(6x + 8y + 5 = 0\).

Vậy \(\frac{a}{b} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).

Đáp án: \(\frac{3}{4}\).