Ông A dự định sử dụng hết \[5\,\,{m^2}\] kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: ……….

Gọi chiều rộng của bể cá là \(x\,\left( m \right)\,\,\left( {x > 0} \right)\), khi đó chiều dài của bể cá là \(2x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)\).

Gọi \[h\] là chiều cao của bể cá ta có \(2{x^2} + 2xh + 4xh = 5 \Leftrightarrow 2{x^2} + 6xh = 5 \Leftrightarrow h = \frac{{5 - 2{x^2}}}{{6x}}\).

Khi đó thể tích của bể cá là \[2{x^2}.\frac{{5 - 2{x^2}}}{{6x}} = \frac{1}{3}\left( {5x - 2{x^3}} \right) = \frac{1}{3}f\left( x \right)\].

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 5x - 2{x^3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x > 0} \right)\) có \(f'\left( x \right) = 5 - 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{5}{6}} \).

Lập bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt {\frac{5}{6}} } \right)\)\( \Rightarrow {V_{\max }} = \frac{1}{3}f\left( {\sqrt {\frac{5}{6}} } \right) = \frac{{5\sqrt {50} }}{{27}} \approx 1,01\,\,\left( {{m^3}} \right)\).

Đáp án: \(1,01\).