Thầy giáo cho các bạn học sinh lớp 8 vận dụng khái niệm tam giác đồng dạng để thực hành đo chiều cao của cột cờ. Kết quả đo của các bạn trong lớp được biểu diễn ở bảng sau:

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

a) Ta có bảng tần số ghép nhóm là:

b) Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

\(\overline x \) = \(\frac{{48.7,5 + 36.22,5 + 18.37,5 + 12.52,5 + 6.67,5}}{{120}}\) = 24.

Phương sai của mẫu số của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s² = \(\frac{{7,{5^2}.48 + 22,{5^2}.36 + 37,{5^2}.18 + 52,{5^2}.12 + 67,{5^2}.6}}{{120}} - {24^2}\) = 312,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s = \(\sqrt {312,75} \) ≈ 17,68.

a) Ta có bảng số liệu các giá trị đại diện như sau:

Xét mẫu số liệu năm 2022:

Cỡ mẫu là n₂₀₂₂ = 11 + 15 + 7 + 5 = 38.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R₂₀₂₂ = 24,2 – 23,7 = 0,5 (giây).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{38}}{4}\) = 9,5.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₀ ∈ [23,7; 23,8).

Do đó, Q₁ = 23,7 + \(\frac{{9,5 - 0}}{{11}}.\left( {23,8 - 23,7} \right)\) = \(\frac{{5233}}{{220}}\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.38}}{4}\) = 28,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₂₉ ∈ [23,9; 24).

Do đó, Q₃ = 23,9 + \(\frac{{28,5 - \left( {11 + 15} \right)}}{7}\left( {24 - 23,9} \right)\) = \(\frac{{3351}}{{140}}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₂ = Q₃ – Q₁ = \(\frac{{3351}}{{140}}\) − \(\frac{{5233}}{{220}}\) ≈ 0,149.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\({\overline x _{2022}}\) = \(\frac{{23,75.11 + 23,85.15 + 23,95.7 + 24,15.5}}{{38}}\) = \(\frac{{4537}}{{190}}\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(s_{2022}^2\) =  \(\frac{{23,{{75}^2}.11 + 23,{{85}^2}.15 + 23,{{95}^2}.7 + 24,{{15}^2}.5}}{{38}} - {\left( {\frac{{4537}}{{190}}} \right)^2}\) ≈ 0,016.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: s₂₀₂₂ ≈ \(\sqrt {0,016} \) ≈ 0,126.

Xét mẫu số liệu năm 2023:

Cỡ mẫu là: n₂₀₂₃ = 28 + 18 + 4 = 50.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R₂₀₂₃ = 24 – 23,7 = 0,3 (giây).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{50}}{4}\) = 12,5.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₁₃ ∈ [23,7; 23,8).

Do đó, Q₁ = 23,7 + \(\frac{{12,5 - 0}}{{28}}.\left( {23,8 - 23,7} \right)\) = \(\frac{{13297}}{{560}}\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.50}}{4}\) = 37,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₃₈ ∈ [23,8; 23,9).

Do đó, Q₃ = 23,8 + \(\frac{{37,5 - 28}}{{18}}\left( {23,9 - 23,8} \right)\) = \(\frac{{8587}}{{360}}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₃ = Q₃ – Q₁ = \(\frac{{13297}}{{560}}\) − \(\frac{{8587}}{{360}}\) ≈ 0,108.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\({\overline x _{2023}}\) = \(\frac{{23,75.28 + 23,85.18 + 23,95.4}}{{50}}\) = \(\frac{{11901}}{{500}}\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\(s_{2023}^2\) = \(\frac{{23,{{75}^2}.28 + 23,{{85}^2}.18 + 23,{{95}^2}.4}}{{50}} - {\left( {\frac{{11901}}{{500}}} \right)^2}\)≈ 0,004.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s₂₀₂₃ ≈ \(\sqrt {0,004} \) ≈ 0,063.

b) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên, theo khoảng tứ phân vị hoặc theo phương sai, độ lệch chuẩn thì ta luôn có thời gian chạy năm 2023 đồng đều hơn thời gian chạy năm 2022.