Bảng dưới đây thống kê cân nặng của một số quả cam canh được thu hoạch từ một vườn cam vào năm 2022 và năm 2023.

Hãy so sánh độ đồng đều của cân nặng và trái cam thu hoạch trong hai năm trên

a) theo khoảng biến thiên;

b) theo khoảng tứ phân vị;

c) theo phương sai.

a) Khoảng biến thiên của cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2022 là:

R₂₀₂₂ = 150 – 110 = 40 (g).

Khoảng biến thiên của cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2023 là:

R₂₀₂₃ = 140 – 100 = 40 (g).

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì độ đồng đều của cân nặng các trái cam thu hoạch trong hai năm không có sự khác biệt.

b) Với mẫu số liệu năm 2022, ta có:

Cỡ mẫu là: n₂₀₂₂ = 0 + 24 + 35 + 14 + 6 = 79.

Có: \(\frac{{{n_{2022}}}}{4} = \frac{{79}}{4} = 19,75\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₀ ∈ [110; 120).

Do đó, Q₁ = 110 + \(\frac{{19,75 - 0}}{{24}}\left( {120 - 110} \right)\) = \(\frac{{5675}}{{48}}\).

Có: \(\frac{{3{n_{2023}}}}{4} = \frac{{3.79}}{4} = 59,25\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₆₀ ∈ [130; 140).

Do đó, Q₃ = 130 + \(\frac{{59,25 - \left( {24 + 35} \right)}}{{14}}\left( {140 - 130} \right)\) = \(\frac{{3645}}{{28}}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₂ = Q₃ – Q₁ = \(\frac{{3645}}{{28}}\) − \(\frac{{5675}}{{48}}\) ≈ 11,95.

Với mẫu số liệu năm 2023, ta có:

Cỡ mẫu: n₂₀₂₃ = 14 + 23 + 26 + 24 + 0 = 87.

Có: \(\frac{{{n_{2023}}}}{4} = \frac{{87}}{4} = 21,75\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x₂₂ ∈ [110; 120).

Do đó, Q₁ = 110 + \(\frac{{21,75 - 14}}{{23}}\left( {120 - 110} \right)\) = \(\frac{{5215}}{{46}}\).

Có: \(\frac{{3{n_{2023}}}}{4} = \frac{{3.87}}{4} = 65,25\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x₆₆ ∈ [130; 140).

Do đó, Q₃ = 130 + \(\frac{{65,25 - \left( {14 + 23 + 26} \right)}}{{24}}\left( {140 - 130} \right)\) = \(\frac{{2095}}{{16}}\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q₂₀₂₃ = Q₃ – Q₁ = \(\frac{{2095}}{{16}}\) − \(\frac{{5215}}{{46}}\) ≈ 17,57.

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì cân nặng các trái cam thu hoạch trong năm 2022 đồng đều hơn cân nặng các trái cam thu hoạch trong năm 2023.

c) Ta có bảng số liệu các giá trị đại diện như sau:

Xét mẫu số liệu năm 2022:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({\overline x _{2022}}\) = \(\frac{{24.115 + 125.35 + 135.14 + 145.6}}{{79}}\) = \(\frac{{9895}}{{79}}\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(s_{2022}^2\) = \(\frac{{{{24.115}^2} + {{125}^2}.35 + {{135}^2}.14 + {{145}^2}.6}}{{79}} - {\left( {\frac{{9895}}{{79}}} \right)^2}\) ≈ 78,41.

Xét mẫu số liệu năm 2023:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({\overline x _{2023}}\) = \(\frac{{105.14 + 115.23 + 125.26 + 135.24}}{{87}}\) = \(\frac{{3535}}{{29}}\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(s_{2023}^2\) = \(\frac{{{{105}^2}.14 + {{115}^2}.23 + {{125}^2}.26 + {{135}^2}.24}}{{87}} - {\left( {\frac{{3535}}{{29}}} \right)^2}\) ≈ 106,76.

Do \(s_{2023}^2\) > \(s_{2022}^2\) nên khi so sánh theo phương sai thì cân nặng các cam thu hoạch năm 2022 đồng đều hơn cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2023.