Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A'BC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. $M$ là trung điểm cạnh $CC'$. Tính côsin góc $\alpha $, biết $\alpha $ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AA'} $ và $\overrightarrow {BM} $.

A. $\cos \alpha = \frac{{2\sqrt {22} }}{{11}}.$

B. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}.$

C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {11} }}{{11}}.$

D. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 12 Kết nối tri thức (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $AH = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và $AH \bot BC,A'H \bot BC$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot AA'$ hay $BC \bot BB'$. Do đó, $BCC'B'$ là hình chữ nhật.

Khi đó, $CC' = AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ $ \Rightarrow BM = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}.6}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{4}$.

Xét $\vec{A A^{'}} . \vec{B M} = \vec{A A^{'}} . (\vec{B C} + \vec{C M}) = \vec{A A^{'}} . \vec{B C} + \vec{A A^{'}} . \vec{C M} = 0 + |\vec{A A^{'}}| . |\vec{C M}| . \cos 0 ° = \frac{3 a^{2}}{4} .$

Suy ra $\cos α = \cos (\vec{A A^{'}}, \vec{B M}) = \frac{\vec{A A^{'}} . \vec{B M}}{|\vec{A A^{'}}| . |\vec{B M}|} = \frac{\frac{3 a^{2}}{4}}{\frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{a \sqrt{22}}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{11} .$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D}) \Rightarrow {|\vec{M N}|}^{2} = \frac{1}{4} ({\vec{A C}}^{2} + 2 \vec{A C} . \vec{B D} + {\vec{B D}}^{2})$

$ = \frac{1}{4}\left( {2{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \right).$

Mà: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} $

$ = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos 60^\circ - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 60^\circ = 0.$

Suy ra ${\left| {\overrightarrow {MN} } \right|^2} = \frac{1}{4}.2{a^2} = \frac{{{a^2}}}{2}$$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Ta có: $\vec{A C} . \vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C} . (\vec{A C} + \vec{B D}) = \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} + \vec{A C} . \vec{B D}) = \frac{a^{2}}{2} .$

Khi đó, $\cos (\vec{A C}, \vec{M N}) = \frac{\vec{A C} . \vec{M N}}{|\vec{A C}| . |\vec{M N}|} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{a . \frac{a \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Vậy $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {MN} } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Câu 2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng:

A. $2{e^4}.$

B. $ - {e^2}.$

C. $2{e^2}.$

D. $ - 2{e^2}.$

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f'\left( x \right) = 2\left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}} + 2x{e^{2x}} = 2\left( {{x^2} + x - 2} \right){e^{2x}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.$

Và $f\left( { - 1} \right) = - {e^{ - 2}};f\left( 2 \right) = 2{e^4};f\left( 1 \right) = - {e^2}.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right){e^{2x}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng $ - {e^2}$ tại $x = 1.$

Câu 3