Cho hàm số \(y = {e^x} - x + 3\).

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\).

c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ là \(\left( {0;4} \right)\).

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ.

Đáp án đúng là: B

Do đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = 2\) nên \(d < 0.\)

Giao điểm của đồ thị và trục tung có tung độ \(\frac{c}{d} < 0 \Rightarrow c > 0.\)

Hệ số góc của tiệm cận xiên là \(a.\) Mặt khác, từ hình vẽ hệ số góc của tiệm cận xiên là dương nên \(a > 0.\)

Lại có \(y' = \frac{{a{x^2} + 2adx + bd - c}}{{{{\left( {x + d} \right)}^2}}}\) và hai điểm cực trị của hàm số có giá trị dương.

Suy ra \({x_1}{x_2} = \frac{{bd - c}}{a} > 0 \Rightarrow bd - c > 0 \Rightarrow bd > c \Rightarrow b < 0\).

Vậy có 2 số có giá trị dương trong các số \(a,b,c,d\).

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Hợp lực tác động vào ba vật là \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OE} \).

Ta có \(\widehat {AOB} = \left( {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right) = \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 110^\circ \). Suy ra \(\widehat {OAD} = 70^\circ \).

Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(OAD\), ta có:

\(O{D^2} = O{A^2} + A{D^2} - 2OA \cdot AD \cdot \cos \widehat {OAD} = {9^2} + {4^2} - 2 \cdot 9 \cdot 4 \cdot \cos 70^\circ  = 97 - 72\cos 70^\circ \).

Vì \(OC \bot \left( {OBDA} \right)\) nên \(OC \bot OD\). Suy ra \(ODEC\) là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác \(OCE\) vuông tại \(C\) nên

\(O{E^2} = O{C^2} + E{C^2} = {7^2} + 97 - 72\cos 70^\circ  = 146 - 72\cos 70^\circ \).

Suy ra \(OE = \sqrt {146 - 72\cos 70^\circ }  \approx 11\).

Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực đã cho bằng khoảng 11 N.

Đáp số: \(11\).