Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = AB = AC = 1\) và \(BC = \sqrt 2 \).

a) \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SC} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt 2 \).

c) \(\overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\).

d) \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\).

a) Đ, b) S, c) S, d) S.

Hướng dẫn giải

– Theo quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {SC} \). Do đó, ý a) đúng.

– Ta có \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = SA = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 1;\,\,\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt 2 \). Do đó, ý b) sai.

– Từ giả thiết, ta thấy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tam giác \(SAB\) đều.

Do đó, \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = 180^\circ  - \widehat {SAB} = 120^\circ \).

Ta có: \[\overrightarrow {SC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB} \]

\( = \overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AB}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos 120^\circ  =  - \frac{1}{2}\).

Do đó, ý c) sai.

– Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC}  \cdot \,\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 \cdot 1}} =  - \frac{1}{2}\). Vậy ý d) sai.