Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A'\left( {1;\,0 & ;\,1} \right)\), \(B'\left( {3;1;\,3} \right)\), \(D'\left( {1;\, - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;\,5;\, - 5} \right)\).

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {A'D'} \) là \(\left( {0; - 1;0} \right)\).

b) Gọi tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là:

\(\left( {{x_B} - 3;{y_B} - 5;{z_B} + 5} \right)\).

c) Tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {3;6; - 5} \right)\).

d) Tọa độ của vectơ tổng \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \) là \(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

– Ta có: \(\overrightarrow {A'D'}  = \left( {1 - 1; - 1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {0; - 1;0} \right)\). Do đó, ý a) đúng.

– Gọi tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là:

\(\left( {3 - {x_B};5 - {y_B}; - 5 - {z_B}} \right)\).

Do đó, ý b) sai.

– Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {A'D'} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3 - {x_B} = 0\\5 - {y_B} =  - 1\\ - 5 - {z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 3\\{y_B} = 6\\{z_B} =  - 5\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {3;6; - 5} \right)\). Do đó, ý c) đúng.

– Ta có: \(\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {BB'} \). Khi đó, theo quy tắc hình hộp, ta có:

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \)\( = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'} \).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BD'} \) là \(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\).

Vậy tọa độ của vectơ tổng \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \) là \(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\). Do đó, ý d) đúng.