Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A'\left( {1;\,0 & ;\,1} \right)\), \(B'\left( {3;1;\,3} \right)\), \(D'\left( {1;\, - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;\,5;\, - 5} \right)\).

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {A'D'} \) là \(\left( {0; - 1;0} \right)\).

b) Gọi tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {{x_B};\,{y_B};{z_B}} \right)\), ta có tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là:

\(\left( {{x_B} - 3;{y_B} - 5;{z_B} + 5} \right)\).

c) Tọa độ của điểm \(B\) là \(\left( {3;6; - 5} \right)\).

d) Tọa độ của vectơ tổng \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DD'} \) là \(\left( { - 2;\, - 7;6} \right)\).

Đặt \(\overrightarrow F  = \left( {x;y;z} \right)\), ta có:

\(x = 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  = 50\sqrt 2 \);

\(y =  - 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  =  - 50\sqrt 2 \);

\(z = 200 \cdot \sin 60^\circ  = 100\sqrt 3 \).

Do đó, \(\overrightarrow F  = \left( {50\sqrt 2 ; - 50\sqrt 2 ;100\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra \(a = 50,b = 50,c = 100\). Vậy \(K = a - 2b + c = 50 - 2 \cdot 50 + 100 = 50\).

Đáp số: \(50\).

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 1\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = x + 2m\,\,\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) là: \(\frac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 2m\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m} \right) = x - 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m + 3 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,{x_2}\) khác \( - 1\) và \({x_1}{x_2} < 0\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array}\\{\frac{c}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 - 2m + 2m + 3 \ne 0\\2m + 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 3\end{array} \right.\\m <  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{2}\).

Vì \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2\,024;\,2\,024} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 2\,024;\, - 2\,023;\,...; - 2} \right\}\).

Vậy có \(2\,023\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Do đó, ý d) đúng.