Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 3\) kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,\,SB,\,SC,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \) như hình dưới.

Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Biết rằng gia tốc rơi tự do có độ lớn 9,8 m/s2.

Đặt \(\overrightarrow F  = \left( {x;y;z} \right)\), ta có:

\(x = 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  = 50\sqrt 2 \);

\(y =  - 200 \cdot \cos 60^\circ  \cdot \cos 45^\circ  =  - 50\sqrt 2 \);

\(z = 200 \cdot \sin 60^\circ  = 100\sqrt 3 \).

Do đó, \(\overrightarrow F  = \left( {50\sqrt 2 ; - 50\sqrt 2 ;100\sqrt 3 } \right)\).

Suy ra \(a = 50,b = 50,c = 100\). Vậy \(K = a - 2b + c = 50 - 2 \cdot 50 + 100 = 50\).

Đáp số: \(50\).

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\).

– Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

– Ta có \(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' > 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

– Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). Do đó, ý a) sai.

– Hàm số đã cho không có cực trị. Do đó, ý b) sai.

– Tiệm cận:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = 1\). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y = 1\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} =  + \infty \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(x =  - 1\).

Vậy ý c) đúng.

– Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = x + 2m\,\,\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) là: \(\frac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 2m\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2m} \right) = x - 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m + 3 = 0\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1};\,{x_2}\) khác \( - 1\) và \({x_1}{x_2} < 0\). Điều này xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array}\\{\frac{c}{a} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 3 > 0\\1 - 2m + 2m + 3 \ne 0\\2m + 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 3\end{array} \right.\\m <  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{2}\).

Vì \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2\,024;\,2\,024} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 2\,024;\, - 2\,023;\,...; - 2} \right\}\).

Vậy có \(2\,023\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Do đó, ý d) đúng.