Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:y = 3x + 2024.\)

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của chuyển động là: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} - 3{t^2} + 12t + 10.\)

Gia tốc của chuyển động là: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {t^2} - 6t + 12 = {\left( {t - 3} \right)^2} + 3.\)

Nhận thấy \({t^2} - 6t + 12 = {\left( {t - 3} \right)^2} + 3 \ge 3\).

Dấu  xảy ra khi \(t = 3\).

Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 3\left( s \right)\).

Khi đó vận tốc của vật bằng: \(v\left( 3 \right) = 28\left( {m/s} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\):

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}} = x + 2 + \frac{3}{{x - 1}}\)

            \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

             \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 2.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 2 cực trị.

Quan sát các đồ thị đã cho, ta thấy đồ thị ở phương án A thỏa mãn.