Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2m\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:y = 3x + 2024.\)

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4x + m - 1\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\): \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Ta có: \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 4{x_0} + m - 1\)

\(k' = 6{x_0} - 4\)

\(k' = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{{ - 7}}{3} + m.\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ đây, hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) là \({k_{\min }} = \frac{{ - 7}}{3} + m\).

Tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng \(d:y = 3x + 2024\) khi và chỉ khi

\({k_{\min }} = \frac{{ - 1}}{{{k_d}}} = \frac{{ - 1}}{3}\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{3} + m = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow m = 2.\)