Câu hỏi:
13/10/2024 209Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;0} \right),\] \[C\left( { - 2;0;1} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\] nên
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;6; - 8} \right)\].
Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[x + 6y - 8z + 10 = 0.\]
Phương trình mặt phẳng \[B\] và vuông góc với \[AC\] là: \[2x + y + z - 2 = 0.\]
Phương trình mặt phẳng \[C\] và vuông góc với \[AB\] là: \[2x - 3y - 2z + 6 = 0.\]
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] nên ta có tọa độ điểm \[H\] là \[\left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right) = - \frac{1}{{101}}\left( {22;31;26} \right).\]
Suy ra \[\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right)\]
Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], \[H\] nên \[\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {AH} \].
Mặt phẳng \[\left( P \right) \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[\overrightarrow {{n_P}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1;6; - 8} \right).\]
Vậy \[{\overrightarrow n _P} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}},\overrightarrow {AH} } \right] = \left( {404; - 202; - 101} \right) = 101\left( {4; - 2;1} \right).\]
Do đó, \[{\overrightarrow n _P} = \left( {4; - 2;1} \right)\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\].
Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[4x - 2y - z + 4 = 0.\]
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \[\overrightarrow {AA'} \bot \left( {ABCD} \right)\].
Do đó, \[\overrightarrow {AA'} \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
a) Ta có: \[d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.5 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}.\]
Vậy ý a đúng.
b) Ta có: \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.2 - 2.1 + 4.5 + 1 - m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6}.\]
Với \[m = 0\] thì \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {27 - 0} \right|}}{6} = \frac{9}{2}.\]
Vậy ý b đúng.
c) Với \[m = 3\] thì \[\left( Q \right):4x - 2y + 4z - 2 = 0\].
Nhận thấy \[\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{{ - 5}}{{ - 2}}\] do đó \[\left( P \right)\parallel \left( Q \right)\].
Có \[\left( Q \right):4x - 2y + 4z - 2 = 0\]\[ \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 1 = 0\]
Suy ra \[d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 5 - \left( { - 1} \right)} \right|}}{3} = 2.\]
Vậy ý c sai.
d) Ta có: \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {4.2 - 2.1 + 4.5 + 1 - m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6}.\]
Để \[d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 1\] thì \[\frac{{\left| {27 - m} \right|}}{6} = 1\].
\[\left| {27 - m} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 21\\m = 33\end{array} \right.\].
Vậy có 2 giá trị \[m\] để khoảng cách từ \[M\] đến \[\left( Q \right)\] bằng 1. Và tổng của hai giá trị là 54.
Vậy ý d sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo