Câu hỏi:
13/10/2024 83Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;0} \right),\] \[C\left( { - 2;0;1} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình là
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)\] nên
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\{ - 2}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;6; - 8} \right)\].
Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[x + 6y - 8z + 10 = 0.\]
Phương trình mặt phẳng \[B\] và vuông góc với \[AC\] là: \[2x + y + z - 2 = 0.\]
Phương trình mặt phẳng \[C\] và vuông góc với \[AB\] là: \[2x - 3y - 2z + 6 = 0.\]
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] nên ta có tọa độ điểm \[H\] là \[\left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right) = - \frac{1}{{101}}\left( {22;31;26} \right).\]
Suy ra \[\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{22}}{{101}}; - \frac{{31}}{{101}}; - \frac{{26}}{{101}}} \right)\]
Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], \[H\] nên \[\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {AH} \].
Mặt phẳng \[\left( P \right) \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[\overrightarrow {{n_P}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1;6; - 8} \right).\]
Vậy \[{\overrightarrow n _P} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}},\overrightarrow {AH} } \right] = \left( {404; - 202; - 101} \right) = 101\left( {4; - 2;1} \right).\]
Do đó, \[{\overrightarrow n _P} = \left( {4; - 2;1} \right)\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\].
Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[4x - 2y - z + 4 = 0.\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
I. Nhận biết
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]?
Xem đáp án »
13/10/2024
981
Câu 2:
II. Thông hiểu
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {2;1;3} \right)\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)\] là
Xem đáp án »
13/10/2024
143
Câu 3:
Trong không gian \[Oxyz\], vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\], biết \[\overrightarrow a = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)\], \[\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - 1} \right)\]là cặp vectơ chỉ phương của \[\left( P \right)\]?
Xem đáp án »
13/10/2024
112
Câu 4:
III. Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x + my + 3z - 5 = 0\] và \[\left( Q \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\] với \[m,n \in \mathbb{R}\]. Xác định \[m,n\] để \[\left( P \right)\] song song với \[\left( Q \right)\].
Xem đáp án »
13/10/2024
105
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {3;1;7} \right);B\left( {5;5;1} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y - z + 4 = 0\]. Điểm \[M\] thuộc \[\left( P \right)\] sao cho \[MA = MB = \sqrt {35} \]. Biết \[M\] có hoành độ nguyên, tính \[OM\].
Xem đáp án »
13/10/2024
86
Câu 6:
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 2z - 5 = 0\]; \[\left( Q \right):4x - 2y + 4z + 1 - m = 0\] và điểm \[M\left( {2;1;5} \right)\]. Khi đó:
a) Khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \[\frac{8}{3}.\]
b) Với \[m = 0\] thì khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[\frac{9}{2}.\]
c) Với \[m = 3\] thì khoảng cách giữa mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[3.\]
d) Có hai giá trị của \[m\] để khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng 1. Khi đó tổng của tất cả các giá trị \[m\] bằng 5.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Xem đáp án »
13/10/2024
83
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
về câu hỏi!