Câu hỏi:
13/10/2024 33Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {3;1;7} \right);B\left( {5;5;1} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y - z + 4 = 0\]. Điểm \[M\] thuộc \[\left( P \right)\] sao cho \[MA = MB = \sqrt {35} \]. Biết \[M\] có hoành độ nguyên, tính \[OM\].
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Gọi \[M\left( {a;b;c} \right)\] với \[a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{R},c \in \mathbb{R}.\]
Ta có: \[\overrightarrow {AM} = \left( {a - 3;b - 1;c - 7} \right)\] và \[\overrightarrow {BM} = \left( {a - 5;b - 5;c - 1} \right)\].
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\MA = MB = \sqrt {35} \end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\M{A^2} = M{B^2}\\M{A^2} = 35\end{array} \right.\] nên ta có hệ phương trình sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\4a - 8b - 12c = - 8\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = c\\c = a + 2\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 35\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}b = a + 2\\c = a + 2\\3{a^2} - 14a = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\] (do \[a \in \mathbb{Z}\]).
Ta có \[M\left( {0;2;2} \right)\] nên suy ra \[OM = 2\sqrt 2 .\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
I. Nhận biết
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]?
Xem đáp án »
13/10/2024
250
Câu 2:
II. Thông hiểu
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {2;1;3} \right)\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)\] là
Xem đáp án »
13/10/2024
93
Câu 3:
Trong không gian \[Oxyz\], khoảng cách giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0\] là
Xem đáp án »
13/10/2024
62
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;0} \right),\] \[C\left( { - 2;0;1} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình là
Xem đáp án »
13/10/2024
56
Câu 5:
Trong không gian \[Oxyz\], vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\], biết \[\overrightarrow a = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)\], \[\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - 1} \right)\]là cặp vectơ chỉ phương của \[\left( P \right)\]?
Xem đáp án »
13/10/2024
54
Câu 6:
III. Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x + my + 3z - 5 = 0\] và \[\left( Q \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\] với \[m,n \in \mathbb{R}\]. Xác định \[m,n\] để \[\left( P \right)\] song song với \[\left( Q \right)\].
Xem đáp án »
13/10/2024
50
Câu 7:
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\]. Gọi \[A,B,C\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \[M\] lên các trục \[Ox,Oy,Oz\]. Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
Xem đáp án »
13/10/2024
45
về câu hỏi!