Câu hỏi:
13/10/2024 484Trong không gian \[Oxyz\], cho hình chóp \[S.ABC\] có ba điểm \[S\left( {0;0;3} \right)\], \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {1;0;0} \right)\], \[C\left( {0;2;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\]. Xét các mệnh đề sau:
a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[0.\]
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{2}{7}.\]
c) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \[\frac{{10\sqrt 3 }}{{21}}.\]
d) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]
Số mệnh đề đúng là
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - 3} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {0;2; - 3} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\].
Suy ra \[{\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 3;0} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3;2} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {SAC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;0;0} \right).\]
a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = 0.\]
Do đó, ý a đúng.
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 3.0 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{7}.\]
Do đó, ý b đúng.
c) Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\].
Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( P \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.1 + 3.1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{11\sqrt 3 }}{{21}}.\]
Do đó, ý c sai.
d) Ta có:
\[\cos \left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| { - 6.0 + 0.0 + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = 0.\]
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]
Vậy ý d đúng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
III. Vận dụng
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):3x + 4y + 5z + 2 = 0\] và đường thẳng \[d\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x - 2y + 1 = 0\] và \[\left( \beta \right):x - 2y - 3z = 0\]. Hãy tính số đo góc \[\alpha \] giữa \[d\] và \[\left( P \right)\].
Câu 2:
Tìm tất cả các mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 3}}\] và tạo với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - z + 1 = 0\] góc \[45^\circ .\]
Câu 3:
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[M\left( {1;0;0} \right)\], \[N\left( {0;1;0} \right)\] và \[P\left( {0;0;1} \right)\]. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] và \[\left( {Oxy} \right)\] bằng
Câu 4:
II. Thông hiểu
Cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1},{\rm{ }}{\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]. Góc giữa \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] là
Câu 5:
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y - z - 3 = 0\] và \[\left( Q \right):x - z - 2 = 0\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng
Câu 6:
Trong không gian \[Oxyz\], hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 3}}{1}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 5}}{m}\] tạo với nhau góc \[60^\circ \], giá trị của tham số \[m\] bằng
về câu hỏi!