Câu hỏi:
13/10/2024 4,348Trong không gian \[Oxyz\], cho hình chóp \[S.ABC\] có ba điểm \[S\left( {0;0;3} \right)\], \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {1;0;0} \right)\], \[C\left( {0;2;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\]. Xét các mệnh đề sau:
a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[0.\]
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{2}{7}.\]
c) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \[\frac{{10\sqrt 3 }}{{21}}.\]
d) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]
Số mệnh đề đúng là
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - 3} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {0;2; - 3} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\].
Suy ra \[{\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 3;0} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3;2} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {SAC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;0;0} \right).\]
a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = 0.\]
Do đó, ý a đúng.
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 3.0 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{7}.\]
Do đó, ý b đúng.
c) Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\].
Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( P \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.1 + 3.1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{11\sqrt 3 }}{{21}}.\]
Do đó, ý c sai.
d) Ta có:
\[\cos \left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| { - 6.0 + 0.0 + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = 0.\]
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]
Vậy ý d đúng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;0;1} \right),\]\[{\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\].
Suy ra \[{\overrightarrow n _{\left( {MNP} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right).\]
Suy ra \[\cos \left( {\left( {MNP} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {MNP} \right)}}} \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\], \[{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1;0; - 1} \right)\].
Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {1.2 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng \[30^\circ .\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.