Câu hỏi:
14/10/2024 4,371Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;3;5} \right)\), \(B\left( {1;1;3} \right)\), \(C\left( {4; - 2;3} \right)\).
Khi đó:
a) Tọa độ trung điểm \(BC\) là \(\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\).
b) Độ dài đoạn thẳng \(BC\) là \(3\sqrt 2 \).
c) Côsin \(\widehat {BAC}\) bằng \(\frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}\).
d) Gọi \(D\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABCD\). Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {2;0;0} \right)\).
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
a) Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm \(BC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\\y = \frac{{1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{1}{2}\\z = \frac{{3 + 3}}{2} = 3\end{array} \right.\) ⇒ \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2};3} \right)\).
Vậy a đúng.
b) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 3;0} \right)\) ⇒ \(BC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2}} = 3\sqrt 2 \) suy ra b đúng.
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 5; - 2} \right)\).
Do đó, \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\)
\( = \frac{{0.3 + \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{7\sqrt {19} }}{{38}}.\)
Vậy ý c đúng.
d) Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x = 0\\ - 2 - y = - 2\\3 - z = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\\z = 5\end{array} \right.\) ⇒ \(D\left( {4;0;5} \right)\).
Gọi \(G\left( {a;b;c} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\\b = \frac{{3 + 1 + 0}}{3} = \frac{4}{2}\\c = \frac{{5 + 3 + 5}}{3} = \frac{{13}}{3}\end{array} \right.\) ⇒ \(G\left( {2;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Tọa độ hình chiếu của trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABD\) lên mặt phẳng \(Oyz\) là \(\left( {0;\frac{4}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: B
a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là \(\left( {2;1;0,5} \right)\) nên ý a đúng.
b) Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là \(\left( { - 1; - 1,5;0,8} \right)\) nên ý b sai.
c)Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất
\(\sqrt {{2^2} + {1^2} + 0,{5^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\) (km).
Do đó, ý c sai.
d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là
\(\sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1,5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0,8 - 0,5} \right)}^2}} = \sqrt {15,34} = 3,92\) (km).
Do đó, ý d đúng.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\).
Do đó, \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.5 + 5.4 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \)\(\frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)