Biết [ int { sin 3x{e^x}dx = F left( x right) + C} ] và [F left( 0 right) + C = 1 ]. Khi đó C bằng A. [ - frac{7}{{10}}. ] B. [ frac{{13}}{{10}}. ] C. [ - frac{3}{{10}}. ] D. [ frac{3}{{10}}. ]

Đáp án đúng là: B Đặt [ left { begin{array}{l}u = sin 3x dv = {e^x} end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}du = 3 cos 3xdx v = {e^x} end{array} right. ] Ta có: [I = int { sin 3x.{e^x}} dx = sin 3x.{e^x} - 3 int { cos 3x.{e^x}dx} ] (1) Đặt [ left { begin{array}{l}u = cos 3x dv = {e^x} end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}du = - 3 sin 3xdx v = {e^x} end{array} right. ] Ta có: [ int { cos 3x.{e^x}dx} = cos 3x.{e^x} + 3 int { sin 3x.{e^x}dx} ] (2) Thay (2) vào (1) ta được: [I = int { sin 3x.{e^x}} dx = sin 3x.{e^x} - 3 left( { cos 3x.{e^x} + 3 int { sin 3x.{e^x}dx} } right) ] [I = int { sin 3x.{e^x}} dx = sin 3x.{e^x} - 3 cos 3x.{e^x} - 9I ] [10I = sin 3x.{e^x} - 3 cos 3x.{e^x} ] [I = frac{1}{{10}} left( { sin 3x - 3 cos 3x} right){e^x} + C ] Mà [F left( 0 right) + C = 1 Leftrightarrow - frac{3}{{10}} + C = 1 ] hay [C = frac{{13}}{{10}}. ]