Giả sử \[F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}{e^x}.\] Tính tích \[P = abc\].
A. 4.
B. −4.
C. 5.
D. 1.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^2}{e^x}dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Suy ra \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} \] (1)
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Do đó, \[\int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x}\] (2).
Thay (2) vào (1), ta được: \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)\]
\[F\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2{e^x} + 2} \right){e^x}\].
Do đó, \[a = 1,b = - 2,c = 2\].
Vậy \[P = abc = - 4.\]
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
B. \[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
C. \[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
D. \[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\sin }^2}xdx = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } \]
\[ = \int {\frac{1}{2}dx - \frac{1}{2}} \int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}x - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.} \]
Câu 2
A. \[F\left( 2 \right) = 2 + 9\ln 2.\]
B. \[F\left( 2 \right) = - 2 + 9\ln 2.\]
C. \[F\left( 2 \right) = 1 + 9\ln 2.\]
D. \[F\left( 2 \right) = 7.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx\]
\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.\]
Mà \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\] nên \[\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}\] hay C = 8.
Suy ra \[F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.\]
Do đó, \[F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2\].
Câu 3
A. \[\frac{3}{2}.\]
B. \[ - \frac{3}{2}.\]
C. \[ - \frac{5}{2}.\]
D. \[\frac{5}{2}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[\frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
B. \[\frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
C. \[{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}} + C.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - x + C.} \]
B. \[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x - x + C.} \]
C. \[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - 1 + C.} \]
D. \[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x + x + C.} \]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right)} .\]
B. \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}} .\]
C. \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha - 1}}}}{{\alpha - 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right){\rm{. }}} \]
D. \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^\alpha }}}{\alpha } + C{\rm{ }}} .\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo