Giả sử [F left( x right) = left( {a{x^2} + bx + c} right){e^x} ] là một nguyên hàm của hàm số [f left( x right) = {x^2}{e^x}. ] Tính tích [P = abc ]. A. 4. B. −4. C. 5. D. 1.

Đáp án đúng là: B Ta có: [F left( x right) = int {f left( x right)dx} = int {{x^2}{e^x}dx} ] Đặt [ left { begin{array}{l}u = {x^2} dv = {e^x}dx end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}du = 2xdx v = {e^x} end{array} right. ] Suy ra [F left( x right) = {x^2}{e^x} - 2 int {x{e^x}dx} ] (1) Đặt [ left { begin{array}{l}u = x dv = {e^x}dx end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}du = dx v = {e^x} end{array} right. ] Do đó, [ int {x{e^x}dx} = x{e^x} - int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x} ] (2). Thay (2) vào (1), ta được: [F left( x right) = {x^2}{e^x} - 2 left( {x{e^x} - {e^x}} right) ] [F left( x right) = left( {{x^2} - 2{e^x} + 2} right){e^x} ]. Do đó, [a = 1,b = - 2,c = 2 ]. Vậy [P = abc = - 4. ]