Biết \[F\left( x \right) = \sin x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right).{e^x}\]. Biết hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right).{e^x}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\sin x{e^x}} \right)^\prime } = \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^x}\]
Suy ra \[f\left( x \right) = \sin x + \cos x.\]
Khi đó \[f'\left( x \right).{e^x} = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}\]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x - \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x - \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}dx} } \] (1)
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x + \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x + \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} - \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}} dx\] (2).
Thay (2) vào (1) ta được:
\[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} - I\]
\[ \Leftrightarrow 2I = 2\cos x{e^x} + C\]
\[ \Leftrightarrow I = \cos x{e^x} + C.\]
Vậy \[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.\]
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{{\sin }^2}xdx = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} } \]
\[ = \int {\frac{1}{2}dx - \frac{1}{2}} \int {\cos 2xdx = \frac{1}{2}x - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.} \]
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2}}}} dx\]
\[ = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx\]
\[ = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C.\]
Mà \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\] nên \[\frac{1}{2} - 6 + 9\ln \left| 1 \right| + C = \frac{5}{2}\] hay C = 8.
Suy ra \[F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8.\]
Do đó, \[F\left( 2 \right) = 9\ln 2 - 2\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo