Câu hỏi:
14/10/2024 61Giả sử \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\] với \[x > - 3\] sao cho \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]. Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right)\] bằng
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 3} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{x + 3}}\\v = \frac{1}{x}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\int {\frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}} dx = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} \]
Đặt \[I = \int {\frac{{dx}}{{x\left( {x + 3} \right)}}} = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx = \frac{1}{3}\ln \left| x \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {x + 3} \right| = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right|} \].
Suy ra \[F\left( x \right) = - \frac{1}{x}\ln \left( {x + 3} \right) + \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C.\]
Lại có \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]
\[\left( {\frac{1}{3}\ln 2 + C} \right) + \left( { - \ln 4 + \frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} + C} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2C = \frac{7}{3}\ln 2 \Leftrightarrow C = \frac{7}{6}\ln 2.\]
Suy ra \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right) = \ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{3}\ln \frac{2}{5} + \frac{7}{3}\ln 2 = \frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] với \[f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\] biết \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\]. Tính \[F\left( 2 \right)\].
Xem đáp án »
14/10/2024
438
Câu 3:
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
Xem đáp án »
14/10/2024
172
Câu 4:
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right)\] bằng
Xem đáp án »
14/10/2024
160
Câu 5:
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
Xem đáp án »
14/10/2024
105
Câu 6:
Cho hàm số \[f\left( x \right) = 2x + {e^x}\]. Tìm một nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2024.\]
Xem đáp án »
14/10/2024
103
về câu hỏi!