Câu hỏi:

16/10/2024 124

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[H\left( {1;2; - 2} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[H\] và cắt các trục \[Ox,Oy,Oz\] tại \[A,B,C\] sao cho \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Viết phương trình mặt cầu tâm \[O\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].

A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 81.\]

B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1.\]

C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\]

D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25.\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Ta có

\[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\], suy ra \[OH \bot \left( {ABC} \right)\].

Thật vậy:

\[\left\{ \begin{array}{l}OC \bot OA\\OC \bot OB\end{array} \right. \Rightarrow OC \bot AB\] (1)

Mà \[CH \bot AB\] (vì \[H\] là trực tâm tam giác \[ABC\]) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \[AB \bot \left( {OHC} \right)\]\[ \Rightarrow AB \bot OH\].

Tương tự, ta suy ra \[BC \bot \left( {OAH} \right)\]\[ \Rightarrow BC \bot OH.\]

Từ đây suy ra \[OH \bot \left( {ABC} \right).\]

Khi đó, mặt cầu tâm \[O\] tiếp xúc mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có bán kính \[R = OH = 3.\]

Vậy mặt cầu tâm \[O\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9.\]

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\] và hình nón \[\left( H \right)\] có đỉnh \[A\left( {3;2; - 2} \right)\] và nhận \[AI\] là trục đối xứng với \[I\] là tâm mặt cầu. Một đường sinh hình nón \[\left( H \right)\] cắt mặt cầu tại \[M,N\]sao cho \[AM = 3AN\]. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \[\left( S \right)\], tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \[\left( H \right).\]

A. \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}.\]

B. \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}.\]

C. \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}.\]

D. \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}.\]

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi hình chiếu vuông góc của

\[I\] trên \[MN\] là \[K\].

Dễ thấy \[AN = NK = \frac{1}{3}AM\], mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;2;3} \right)\] và bán kính \[R = 5.\]

Có \[AM.AN = A{I^2} - {R^2} = 4\]\[ \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3}\]

\[ \Rightarrow AN = NK = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]\[ \Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} - K{N^2}} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}.\]

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu \[\left( S \right)\] và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón \[\left( H \right)\] chính là mặt cầu tâm \[I\left( {1;2;3} \right)\], bán kính \[IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}.\]

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}.\]

Câu 2

III. Vận dụng

Trong không gian \[Oxyz\], mặt cầu (S) đi qua điểm \[O\] và cắt các tia \[Ox,\]\[Oy,\]\[Oz\] lần lượt tại các điểm \[A,B,C\] khác \[O\] thỏa mãn tam giác \[ABC\] có trọng tâm là điểm \[G\left( { - 6; - 12;18} \right)\]. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

A. \[\left( {9;18; - 27} \right).\]

B. \[\left( { - 3; - 6;9} \right).\]

C. \[\left( {3;6; - 9} \right).\]

D. \[\left( { - 9; - 18;27} \right).\]

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Gọi \[A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\].

Tam giác \[ABC\] có trọng tâm \[G\left( { - 6; - 12;18} \right)\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 0 + 0}}{3} = - 6\\\frac{{0 + b + 0}}{3} = - 12\\\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 18\\b = - 36\\c = 54\end{array} \right.\].

Suy ra \[A\left( { - 18;0;0} \right),B\left( {0; - 36;0} \right),C\left( {0;0;54} \right)\].

Gọi \[I\left( {x;y;z} \right)\], ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IA = IB\\IB = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{O^2} = I{A^2}\\I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right.\].

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + 18} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\\{\left( {x + 18} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y + 36} \right)^2} + {z^2}\\{x^2} + {\left( {y + 36} \right)^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 54} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36x + 324 = 0\\36x + 324 - 72y - 1296 = 0\\72y + 1296 + 108z - 2916 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 9\\y = - 18\\z = 27\end{array} \right.\].

Vậy tâm của mặt cầu là \[I\left( { - 9; - 18;27} \right).\]

Câu 3

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu?

A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0.\]

B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + 6 = 0.\]

C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 6y + 4z + 14 = 0.\]

D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Phương trình mặt cầu tâm \[I\left( {1; - 2;3} \right)\] bán kính \[R = 3\] là

A. \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3.\]

B. \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.\]

C. \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.\]

D. \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y + z - {m^2} + 4m - 5 = 0\] và mặt cầu có phương trình \[\left( S \right):\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\]. Giá trị của \[m\] để \[\left( P \right)\] tiếp xúc với \[\left( S \right)\] là

A. \[m = - 1\] hoặc \[m = 5.\]

B. \[m = 1\] hoặc \[m = - 5.\]

C. \[m = - 1.\]

D. \[m = 5.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian hệ trục \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;0; - 3} \right)\] và \[B\left( {3;2;1} \right).\] Phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là

A. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z = 0.\]

B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0.\]

C. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + z - 6 = 0.\]

D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z + 6 = 0.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Xác định tâm và bán kính mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] ta được

A. Tâm \[I\left( { - 4;3; - 1} \right)\] và bán kính \[R = 6.\]

B. Tâm \[I\left( { - 4;3; - 1} \right)\] và bán kính \[R = 36.\]

C. Tâm \[I\left( {4; - 3;1} \right)\] và bán kính \[R = 6.\]

D. Tâm \[I\left( {4; - 3;1} \right)\] và bán kính \[R = 36.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu?

Phương trình mặt cầu tâm \[I\left( {1; - 2;3} \right)\] bán kính \[R = 3\] là

Cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y + z - {m^2} + 4m - 5 = 0\] và mặt cầu có phương trình \[\left( S \right):\]\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\]. Giá trị của \[m\] để \[\left( P \right)\] tiếp xúc với \[\left( S \right)\] là

Trong không gian hệ trục \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;0; - 3} \right)\] và \[B\left( {3;2;1} \right).\] Phương trình mặt cầu đường kính \[AB\] là

Xác định tâm và bán kính mặt cầu \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\] ta được

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu