Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(\log _2^3a + \log _2^3b + \log _2^3c \le 1\). Khi biểu thức \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log }_2}{b^b} + {{\log }_2}{c^c}} \right)\)đạt giá trị lớn nhất thì tổng \(a + b + c\) là
Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(\log _2^3a + \log _2^3b + \log _2^3c \le 1\). Khi biểu thức \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log }_2}{b^b} + {{\log }_2}{c^c}} \right)\)đạt giá trị lớn nhất thì tổng \(a + b + c\) là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}a = x\\{\log _2}b = y\\{\log _2}c = z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {2^x}\\b = {2^y}\\c = {2^z}\end{array} \right.\).
Khi đó \(P = {\left( {{2^x}} \right)^3} + {\left( {{2^y}} \right)^3} + {\left( {{2^z}} \right)^3} - 3\left( {x{{.2}^x} + y{{.2}^y} + z{{.2}^z}} \right)\) trong đó \({x^3} + {y^3} + {z^3} \le 1\) và \(x,y,z \in \left[ {0;1} \right].\)
Dễ dàng chứng minh được \({2^x} \le x + 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\) hoặc \(x = 1.\)
Suy ra \({\left( {{2^x} - x} \right)^3} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^3} \le 3.{\left( {{2^x}} \right)^2}.x - {3.2^x}.{x^2} + {x^3} + 1\)
\( \Rightarrow {\left( {{2^x}} \right)^3} - 3x{.2^x} \le 3.x{.2^x}\left( {{2^x} - x - 1} \right) + {x^3} + 1 \le {x^3} + 1\).
Tương tự \({\left( {{2^y}} \right)^3} - 3y{.2^y} \le {y^3} + 1;{\left( {{2^z}} \right)^3} - 3z{.2^z} \le {z^3} + 1\).
Từ đó suy ra \(P \le \left( {{x^3} + 1} \right) + \left( {{y^3} + 1} \right) + \left( {{z^3} + 1} \right) \le 4\).
Dấu “=” xảy ra khi trong ba số \(x,y,z\) có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Chọn C.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{{32}}{3}\).
Lời giải
Dựa vào Parabol như hình vẽ, suy ra phương trình của Parabol là \((P):y = a{x^2} + 4;\) \((P)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \( \pm 2\) nên \(a = - 1 \Rightarrow (P):y = - {x^2} + 4\).
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục hoành bằng
\(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} {\rm{d}}x = 2\int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} {\rm{d}}x = \left. {2\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{32}}{3}\). Chọn A.
Câu 2
Lời giải
Ta có \(\int f (x)dx = F(x)\)
\( \Rightarrow f(x) = F'(x)\)
\( \Rightarrow f(x) = 2\left( {a{x^2} + bx - c} \right){e^{2x}} + (2ax + b){e^{2x}}\)
\( = \left( {2a{x^2} + 2(a + b)x + b - 2c} \right){e^{2x}}\).
Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = 2018}\\{2(a + b) = - 3}\\{b - 2c = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1009}\\{2b = - 2021}\\{4c = - 2023}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(T = a + 2b + 4c = - 3035\). Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập