Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'(x) = \tan x\), \(\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right)\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\},f(0) = 0,f(\pi ) = 1\). Tỷ số giữa \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) và \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\({\rm{Ta c\'o : }}f(x) = \int {\tan } xdx = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x}}} = - \int {\frac{{d(\cos x)}}{{\cos x}}} = - \ln |\cos x| + C\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = - \ln (\cos x) + {C_1}\quad khix \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)}\\{f(x) = - \ln ( - \cos x) + {C_2}\;khix \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{4}} \right]}\end{array}} \right.\)
\({\rm{M\`a }}\,\,f(0) = 0,f(\pi ) = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - ln 1 + {C_1} = 0}\\{ - ln 1 + {C_2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{C_1} = 0}\\{{C_2} = 1}\end{array}} \right.} \right.\).
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = - \ln (\cos x)\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)}\\{f(x) = - \ln ( - \cos x) + 1\quad khi\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{4}} \right]}\end{array}} \right.\) .
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \ln \left( {\cos \frac{\pi }{4}} \right) = - \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{1}{2}\ln 2 + \ln 2 = \frac{1}{2}\ln 2}\\{f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \ln \left( { - \cos \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 1 = - \ln \frac{1}{2} + 1 = \ln 2 + 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \frac{{f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{f\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{2(\ln 2 + 1)}}{{\ln 2}} = 2\left( {1 + {{\log }_2}e} \right)\). Chọn A.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{{32}}{3}\).
Lời giải
Dựa vào Parabol như hình vẽ, suy ra phương trình của Parabol là \((P):y = a{x^2} + 4;\) \((P)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \( \pm 2\) nên \(a = - 1 \Rightarrow (P):y = - {x^2} + 4\).
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục hoành bằng
\(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} {\rm{d}}x = 2\int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} {\rm{d}}x = \left. {2\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{32}}{3}\). Chọn A.
Câu 2
Lời giải
Ta có \(\int f (x)dx = F(x)\)
\( \Rightarrow f(x) = F'(x)\)
\( \Rightarrow f(x) = 2\left( {a{x^2} + bx - c} \right){e^{2x}} + (2ax + b){e^{2x}}\)
\( = \left( {2a{x^2} + 2(a + b)x + b - 2c} \right){e^{2x}}\).
Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = 2018}\\{2(a + b) = - 3}\\{b - 2c = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1009}\\{2b = - 2021}\\{4c = - 2023}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(T = a + 2b + 4c = - 3035\). Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập