Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \[f\prime \left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1,\;\forall x \in \mathbb{R}\] và \[f\left( 0 \right) = - 1\]. Tính f(3).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chuyển vế và nhân cả hai vế với \({e^{ - x}}\) ta có:
\(f'(x) = f(x) + {x^2}{e^x} + 1\quad \forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow f'(x){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}\)
Ta có: \({\left[ {f(x){e^{ - x}}} \right]^\prime } = f'(x){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f(x) \Rightarrow {\left[ {f(x){e^{ - x}}} \right]^\prime } = {x^2} + {e^{ - x}}\).
Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(f(x){e^{ - x}} = \frac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + C \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1 + C{e^x}\).
Ta có: \(f(0) = - 1 \Leftrightarrow - 1 + C = - 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1\).
Vậy \(f(3) = \frac{{{3^3}{e^3}}}{3} - 1 = 9{e^3} - 1\). Chọn D.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{{32}}{3}\).
Lời giải
Dựa vào Parabol như hình vẽ, suy ra phương trình của Parabol là \((P):y = a{x^2} + 4;\) \((P)\) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ \( \pm 2\) nên \(a = - 1 \Rightarrow (P):y = - {x^2} + 4\).
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục hoành bằng
\(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} {\rm{d}}x = 2\int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} {\rm{d}}x = \left. {2\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{32}}{3}\). Chọn A.
Câu 2
Lời giải
Ta có \(\int f (x)dx = F(x)\)
\( \Rightarrow f(x) = F'(x)\)
\( \Rightarrow f(x) = 2\left( {a{x^2} + bx - c} \right){e^{2x}} + (2ax + b){e^{2x}}\)
\( = \left( {2a{x^2} + 2(a + b)x + b - 2c} \right){e^{2x}}\).
Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = 2018}\\{2(a + b) = - 3}\\{b - 2c = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1009}\\{2b = - 2021}\\{4c = - 2023}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(T = a + 2b + 4c = - 3035\). Chọn C.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập