Giá trị của giới hạn \[L = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\] bằng \[\frac{a}{b}\] (phân số tối giản)
Khi đó, tổng a + b bằng __.
Giá trị của giới hạn \[L = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\] bằng \[\frac{a}{b}\] (phân số tối giản)
Khi đó, tổng a + b bằng __.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right),n \ge 2,n \in \mathbb{N}.\)
Ta có:
\({u_2} = 1 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{3}{4} = \frac{{2 + 1}}{{2.2}}\)
\({u_3} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) = \frac{3}{4}.\frac{8}{9} = \frac{4}{6} = \frac{{3 + 1}}{{2.3}};\)
\({u_4} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right) = \frac{3}{4}.\frac{8}{9}.\frac{{15}}{{16}} = \frac{5}{8} = \frac{{4 + 1}}{{2.4}}\)
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n}}.\)
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n}},\forall n \ge 2\).
Khi đó \(\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) \ldots \left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right] = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\) .
Do đó ta điền đáp án như sau
Giá trị của giới hạn \[L = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\] bằng \[\frac{a}{b}\] (phân số tối giản)
Khi đó, tổng a + b bằng 3.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Gọi N là trung điểm AB. Kẻ \(AH \bot SN\).
Vì \(MN//AC\), \(MN \subset \left( {SMN} \right)\) nên \(AC//\left( {SMN} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {SM,AC} \right) = d\left( {AC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\).
Vì \(\left. \begin{array}{l}MN//AC\\AC \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot AB\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot MN\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AB\\MN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AH\).
Mà \(AH \bot SN\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {SM,AC} \right) = AH\).
Lại có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{13}}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {39} a}}{{13}}\). Chọn C.
Câu 2
A. 18,66 \(d{m^3}\).
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) quay quanh trục Ox là:
\[V = \pi \int\limits_{ - a}^a {\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \left( {{a^2} - {x^2}} \right)dx = \left. {\frac{{\pi {b^2}}}{{{a^2}}}\left[ {{a^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_{ - a}^a = \frac{4}{3}\pi a{b^2}\].
Rìa trong của Lavabo là một elip có bán trục lớn \(a = \frac{{660}}{2} - 20 = 310mm = 3,1dm\), bán trục nhỏ \(a = \frac{{380}}{2} - 20 = 170mm = 1,7dm\).
Áp dụng công thức tính thể tích khi qua elip quanh trục lớn, ta có \(V = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi a{b^2} \approx 18,76d{m^3}\). Chọn B.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{36}}{{385}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập